行列式について。

質問

行列式についてお教えください。
１)下記の行列は正則か。正則であればその逆行列をもとめよ。
)　０　０　３
　　１　４　－１
　　 5 　7 　 2　　　です。
この問題は、正則です。
したがって、この問題では逆行列を求めますが、逆行列を求めるにはいちいちすべての余因子を求める方法しかないのですか。
２)次の行列式の値を求めよ。
　　１　３　２
　　７ １５ ２１
　　２　９　１
ですが、何回解いても値が３０になるのですが、回答はー３になります。どうでしょうか。

回答No.5

BASKETMM · ベストアンサー

チョットお節介ですが。
文章の中で、行列と行列式が区別されていません。ご自身は別のものとして、理解しておられるのでしょうが、読む人が混乱するので、キチッと書いていただけませんか。正しい日本語は論理の学問でもある数学には大切です。

失礼いたしました。改善提案としてお考え下さい。

回答No.4

noname#101087

>逆行列を求めるにはいちいちすべての余因子を求める方法しかないのですか。...

(例) ブロック行列分割法。

|a　b|
|c　d|
この(2×2)の逆行列は、
| d/D　-b/D|
|-c/D　 a/D|
ですね。(D=ad-bc)
(掛けあわせると単位行列になるのをチェックしてみてください)
------------
[参考ページ-1]
　http://en.wikipedia.org/wiki/Invertible_matrix
>Inversion of 2 x 2 matrices

たとえば(3×3)の行列を縦横に4つのブロック行列に分割し、部分的に(2×2)と(1×1)の行列積と逆行列を計算をして、
全体の逆行列を求められます。
------------
[参考ページ]
同上 URL
>Blockwise inversion

手数が減るわけじゃありませんが、操作が機械的になるので、余因子(特にその正負)を考えさせられるイライラからは開放されます。
もし興味あればお試しを。

回答No.3

metis

１）余因子の他に、基本変形を使って解く方法も有りますが…
３次なら私は余因子使いますね。４次なら少し悩むかも…。
正則であるときに行列式を使ったなら余因子の方が速いと思います（３次なら）。
ランクを使ったなら基本変形の方が速いかも…？（私の場合はそれでも余因子の方が速い事が多いですが）

一応、基本変形での解き方だけ紹介して置きます。こちらの方が明らかに速いなら使ってみても良いかと思います。
0 0 3 1 0 0
1 4 -1 0 1 0
5 7 2 0 0 1
（問題の行列の右に単位行列Ｅを付けた、列数が２倍になった行列）
これを基本変形して…
1 0 0 * * *
0 1 0 * * *
0 0 1 * * *
という形にします（左半分が単位行列になるように）
このときの右半分が、元の行列の逆行列になります。

回答No.2

Tacosan

3×3 くらいなら, 余因子を使って逆行列を求めるのが簡単でよいと思います.
消去法ベースの求め方もあるけど, 3×3 だと牛刀って感じがします.
特性方程式を使う方法も考えられるけど明らかに無駄.
まあ書いておくけど, 3次正方行列 A の特性方程式を
λ^3 + aλ^2 + bλ + c = 0
とおくと Cayley-Hamilton の定理から
A^3 + aA^2 + bA + cE = O
となり, c ≠ 0 なら
A^2 + aA + bE + cA^-1 = O
なので
A^-1 = -(1/c)(A^2 + aA + bE).
A^2 を計算するより余因子の方が簡単だと思う.

回答No.1

Mr_Holland

２）はサラスの方法を使えば、次のようになります。

　　1×15×1＋3×21×2＋2×7×9－2×15×2－3×7×1－1×21×9
　＝-3

　どこで計算違いしているのでしょうね。

　逆行列の求め方については、他の専門の方にゆだねます。