行列の問題！

質問

すみません、、、どなたか以下の問題を解いて頂けませんか。
答えがないので、正直お手上げ状態です。
ヒントでも構いません、、、、宜しくお願いします。

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すべての実数からなる集合をRと表す。
行列を要素にもつ2つの集合M, Nを

M = | | a b | a, b, c, d ∈ R | 　
.　 　| | c d |　　 　 　 　 　　 |

N = | | r　-s | r, s ∈ R |
..　　| | s r 　.| 　 　　 　 .|

と定める。更に、Mの要素
A = | a b | に対し、 A' = | a c | とおく。　
....　 | c d | 　　　　　 　　 .| b d |

(1) A, B ∈ N ならば、AB ∈ N であることを示せ。
(2) A, B ∈ N ならば、(AB)' = A'B' となることを示せ。
　　また、(CD)' ≠C'D' となる M の要素 C, D の組を一つ求めよ。
(3) N のすべての要素と交換可能な M の要素は、必ず N に属することを示せ。
　　ただし、行列 X と Y が交換可能であるとは、 XY = YX のこととする。
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回答No.1

stomachman · ベストアンサー

確認。
●Mは２行２列の実数値を成分とする行列の集合。
●NはMの部分集合であって、対角要素が同じで、非対角要素の符号が逆であるようなもの。
●行列Aの転置をA'で表す。
という理解で良いでしょうか。

行列の積のやり方が分かっていればどうということはない問題ですよ。

　以下、行列Aのn行m列目の成分（実数）をA[n,m]と書くことにしましょう。
(1) ∀A∀B((A∈N ∧ B∈N)→AB∈N)
これは簡単です。A[1,1]=r, A[2,1]=s, B[1,1]=p, B[2,1]=q (p,q,r,s∈R)として、ABを実際に作ってみれば確かめられる。

(2-1) ∀A∀B((A∈N ∧ B∈N)→(AB)'=A'B')
一般にどんな行列S,Tについても (ST)'=T'S' が成り立ちます。これは行列の積の定義を見れば明らかです。従ってここで証明すべきなのは、AB = BAであるということ。(1)と同様にしてやってみれば分かります。
　AB=BAが示せたら、(AB)'=(BA)'=A'B'ですね。反対に、(AB)'=A'B'であれば、AB=(AB)''=(B'A')'=B''A''=BAですから、AB = BAは(AB)'=A'B'の必要十分条件になっています。

(2-2) ∃C∃D((C∈M ∧ D∈M)→(CD)'≠C'D')
　Nの要素以外には(CD)'=C'D'になる２行２列行列が存在しないらしいことは、(3)の設問から推察できるでしょう？だからNに該当しない行列を適当に作って、積を計算してみれば良いだけのことです。

(3) ∀A∀B((A∈N ∧ B∈M∧AB=BA)→B∈N)
　ようやく問題らしい問題ですね。これもどうということはありません。
A[1,1]=r, A[2,1]=s, B[1,1]=a, B[2,1]=b, B[1,2]=c, B[2,2]=d
として、P=AB, Q=BAを作ってみます。そして、
P[m,n]=Q[m,n] (m=1,2; n=1,2)
という連立方程式を考えれば、a=d, b=-cが導ける。つまりB∈N。

　なお、全ての成分が0である行列O（零行列）や、対角成分が同じ値aで非対角成分が0である行列aI（単位行列のa倍）もNの要素です。従って、
「少なくとも一つのNの要素と交換可能であるようなMの要素は？」と訊かれた場合には、「Nの要素としてOやaIを持ってくれば、Mのどの要素も交換可能」という答えになってしまいます。

お礼

詳しい解説ありがとうございました。
助かりました。
おかげで、なんとか乗り越えられそうな感じです。
教えて！gooは今日登録したばかりで、
ダメ元だったんですが、聞いてみて良かったです。
またお世話になるかも知れません。
本当にありがとうございました。

回答No.2

redbean

問題(1)が分からないということは、行列の積の意味が
分からないということでしょうか？

Ａ＝
| a b |
| c d |

Ｂ＝
| w x |
| y z |

としたとき、積ＡＢは

ＡＢ＝
| aw+by ax+bz |
| cw+dy cx+dz |

となります。

問題(1)などは、Ａ、Ｂの成分を適当にＮに属するように
定めて、計算結果の成分を眺めれば解決すると思いますが。

お礼

な、なるほど。よくわかりました。
実は∈の意味がわからなくて、
「x∈AならxはAの要素である。」という説明を読んで、
行列の中に行列をぶちこむのかー？うーん。
と悩んでおりました。
要は「A∈N」はAの行列をNの行列に矛盾無く
当てはまる形にすればいいってことですよね？
ありがとうございました！