行列式の性質

質問

Aを(m,n)行列、Bを(n,m)行列とするとき、ｍ＞ｎならば、AとBの積ABの行列式｜AB｜は0になる。これをどうやったら証明できるのかわかりません。おそらくは、行列のある行（列）の成分が0のとき行列式が0となる性質を使うおもうのですが。

回答No.2

31415926 · ベストアンサー

Aに(m,m-n)のゼロ行列を右に付け加えて得られるm次正方行列をA’とし，
Bに(m-n,m)のゼロ行列を下に付け加えて得られるm次正方行列をB’とします．
するとnakaji_1112さんが書いておられることから|A’| = 0, |B’|=0です．そして
AB = A’B’となることが行列計算でわかるので
|AB| = |A’B’| = |A’||B’| = 0 となります．

回答No.1

adinat

ある成分が0だからといって行列式が0になるわけではありません。たとえば対角行列が簡単な反例でしょう。

行列式の最も大事な性質は多重双線形性という性質です。これからいろいろな行列式の性質が導かれます。特に正則行列でなければ、行列式は常に0になる、という性質がこの問題を解くときの重要な手がかりになります。

具体的には、もし行列ABのランクがｍ未満であることが証明できたのなら、行列ABは正則行列でないことになり、したがって積の行列式が0であることが示されます。（より詳しくは、ランクはｎ以下となります。行列のランクは行の数と列の数の小さい方以下になり、また積のランクもおのおのの行列のランクの小さい方以下になるからです）なお、このことを厳密に証明するのであれば、ランクがｍ未満であることから、ｍ個の行ベクトルは1次従属になるので、すくなくともいずれかの行ベクトルは、他の行ベクトルの線形和でかけます。行列式の性質「他の行ベクトルの定数倍を別の行に加えても行列式の値は変らない」を用いれば、非正則行列の行列式が0になることは直ちに分かります。