行列の積の計算をするときのイメージ？

質問

例えば
A=
12
34

B=
56
78　　　　　　に対してABを求めるとき、

Aは２つの行ベクトル(1 2),(3 4)
Bは２つの列ベクトル(5 6),(7 8)とみなして計算するんですよね？
慣れないうちは計算ミスしやすいですよね？

また、ABを計算するとき、結果は2×2行列になりますけど、
計算の順番としては (1,1)成分→(1,2)成分→(2,1成分)→(2,2)成分　と、行単位で求めるのと
(1,1)→(2,1)→(1,2)→(2,2)と、列単位で求めるのとではどちらがいいのでしょうか？
結果には影響ないのですが・・・教えてください。

回答No.3

ur2c · ベストアンサー

記号をこうします：

A

= （要素毎に並べた）
A11 A12
A21 A22

= （行毎に並べた）
A1.
A2.

= （列毎に並べた）
A.1 A.2

A' を A の転置とします。x, y を縦ベクトルとして、内積は

(x,y) = x' y = x1 y1 + x2 y2

です。すると行列 A, B のかけ算は

A B =

(A1., B.1) (A1., B.2)
(A2., B.1) (A2., B.2)

= （B を列毎に A で変換した）
[A B.1] [A B.2]

= （A を行毎に B で変換した）
A1. B
A2. B

です。

ところで「x を A で変換すると y になる」は

A x = y

と書く方が

x' A' = y'

のように書くよりも頻繁に現れます。（Markov chain なんかで後者も使いますけど。）頻繁に出現する方があまり見ない書き方よりも「普通」だ（つまり primal ないし主は dual ないし双対より普通）と思うことにすると、

A B

=
[A B.1] [A B.2]

と解釈する方が

=
A1. B
A2. B

と解釈するよりも普通だ、ということになります。だから列毎に計算した方が、教科書の書き方に合った絵を頭の中に描きやすいという意見です。

> 慣れないうちは計算ミスしやすいですよね？

慣れても同じです。私は手計算はしません。どうせまちがえるもん。それに行列がちょっと大きくなったら、すぐできなくなるし。

> 結果には影響ないのですが

そういうものは数学にいっぱいあって、それでも自分なりの解釈を与えておくのが、簡単に理解するこつだと思ってます。

たとえば、内積 (x,y) は、x と y とがどれだけ似ているかの計量で、統計の相関とほとんど同じ概念です。そう思って解釈すると、行列のかけ算とは何をやっているのか、わかりやすいと思います。

お礼

ありがとうございました。

回答No.2

hugen

(x,y) → (5x+6y,7x+8y)=(X,Y) → (1X+2Y,3X+4Y)
1X+2Y=1(5x+6y)+2(7x+8y)=(5+14)x+(6+16)y
3X+4Y=3(5x+6y)+4(7x+8y)=(15+28)x+(18+32)y

お礼

ありがとうございます。

回答No.1

alice_44

結果には影響ないのです。貴方の好きな順番で！
私は列単位ですが、人に勧めるような話でもない。

お礼

ズバリありがとうございました。