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行列の積 内積 の関係について

行列の積 内積 の関係について 行列の積と内積は同じであると説明があったのですが、 よく分かりません・・・ 例えば、A=(3、-2,1),B=(4,6,7)のベクトルの内積は A・B=(3×4)+(-2×6)+(1×7)=7となるのですが、 行列の積は(1行3列)×(1行3列)で計算できません。 どちらかのベクトルを転置化すれば計算できるのですが・・・ 列ベクトルや行ベクトルは転置しても同じベクトルなのでOKと言う事でしょうか? 内積の演算結果はスカラー(数値)で、行列の積の演算結果は 行列と認識しているのですがこの認識は誤りでしょうか? 列ベクトルや行ベクトルの積の場合はスカラーとなるのでしょうか? A=(3、-2,1),B=(4,6,7)において、ベクトルBを転置化してtBとすれば A×tB=(7)となります。これはスカラーとなりますでしょうか? (追加質問) また、以前ノルムに関して質問させて頂きました。 ご回答頂いた内容で大凡理解できたのですが、追加で一点だけ質問させて下さい。 VのベクトルAに対して、ノルムは ||A||=√(A・A)とされますが、これを||A||=√(A^2)と表記するのはおかしいのでしょうか?

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  • adinat
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同じであるという表現は正しくなくて、似たようなものと思ってもよい、ぐらいなら許されるかも知れないですね。 行列A、Bに対して、積の行列ABは第ij成分が、行列Aの第i行と、行列Bの第j列の内積で与えられるもの という言い方は出来ます。一般にベクトルは1行または1列の行列と同一視できますが、内積と行列の積が同じものとみなせるのは、行ベクトルと列ベクトルの積を取る場合だけです。特に、行ベクトルaと、列ベクトルbに対して、行列としての積abはスカラーになり、二つのベクトルa、bの内積ともいえますが、積の順番を変えて、baとするとこれはもはや内積ではなく、行列になってしまいます。内積は掛ける順番によらず交換法則が成り立つのだから、その意味ではまったく同じというわけにもいかないでしょう。似て非なるものというのが正確で、特別な場合は同じものと考えてもよい、というのが正しい認識だと思います。 それから、物理などではA・AをA^2と書くことがあるかもしれませんが、個人的には推奨されない表記だと考えます。A^2というのはA×Aのことですが、積がどういう演算なのかはっきりしないのです。ベクトル同士の演算に、内積以外の積を考えることもあるだろうし、さらに平方根でさえスカラー以外の対象に定義を拡張することは考えられます。そういう意味で、A^2はAとAの内積を表す略号である、と断った上で使うのならいいでしょうけど、暗黙の状態で使うのであれば適切ではないと思います。もちろん、そういう暗黙の使用が許可されたフィールドならよいのでしょうが、A・Aと書けば誤解は皆無なのですから、そう書くほうが自然だし、親切だし、間違いないと思います。

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質問者からのお礼

ご連絡遅くなり申し訳御座いません。 親切に本当にありがとう御座いました。 おかげさまで理解出来ました。

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その他の回答 (3)

  • 回答No.3
  • proto
  • ベストアンサー率47% (366/775)

>内積の演算結果はスカラー(数値)で、行列の積の演算結果は >行列と認識しているのですがこの認識は誤りでしょうか? この認識自体は正しいですが、考えている行列が1x1行列の場合に限れば、1x1行列はスカラーと同一視出来ます。 同様に、n次元ベクトルを1xn行列またはnx1行列と同一視することも可能です。 ですから、n次元ベクトルを1xn行列と同一視し、スカラーを1x1行列と同一視するなら。 ベクトルA,Bの内積は、行列の積を用いて   A×tB を計算するのと同じです。 言い方を変えれば、ベクトルA,Bを1xn行列と見て、内積を   A×tB で定義しても差し支えないということです。 その意味で、ベクトルの内積と行列の積は同じものと言うこともあります。

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  • 回答No.2

>VのベクトルAに対して、ノルムは ||A||=√(A・A)とされますが、これを||A||=√(A^2)と表記するのはおかしいのでしょうか? それこそ、A が行ベクトルのときなどに、困りませんか?   

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  • 回答No.1

>内積の演算結果はスカラー(数値)で、行列の積の演算結果は行列と認識しているのですがこの認識は誤りでしょうか? その認識は、誤りじゃありません。 行列積では、A*B = C とでもした場合に、C の各要素が A の行と B の列との内積に相当している、ということなんじゃありませんか?   

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