- ベストアンサー
上三角行列同士をかけたときの積も上三角行列となることを示すには?
正方行列AとBがともに上三角行列であるとき、積ABもまた上三角行列となることを示せ。 という問題がわかりません。 自分で解こうとしましたが、以下のような状態で、証明できていません(^_^;) 行列式|A|はAの対角成分を掛け合わせたもの。同様に行列式|B|はBの対角成分を掛け合わせたものになっている。また、|AB|=|A||B|より、積ABの行列式はAとBの全ての対角成分を掛け合わせたものとなる。よって、|AB|はAとBの対角成分のみから構成されているので、積ABもまた上三角行列である???
- milkyway60
- お礼率30% (206/675)
- 数学・算数
- 回答数1
- ありがとう数2
- みんなの回答 (1)
- 専門家の回答
質問者が選んだベストアンサー
A, B が上三角行列なら、その (i,j) 成分は、 i < j のとき、A[i,j] = B[i,j] = 0 です。 A, B の積を作ると、 (AB)[i,j] = Σ{k=1…n} A[i,k] B[k,j] ですが、 i < j の範囲では… i ≧ k ≧ j とはなりえないので、 i < k または k < j の少なくとも一方は成り立ち、 A[i,k] と B[k,j] の少なくとも一方は 0、 すなわち A[i,k] B[k,j] = 0 です。 よって、Σ しても、(AB)[i,j] = 0。 これは、積 AB が上三角行列だということですね。
関連するQ&A
- (1)2つの上三角行列A、Bの積ABは上三角行列になることを証明せよ。
(1)2つの上三角行列A、Bの積ABは上三角行列になることを証明せよ。 (2)2つの上三角行列A、Bの積ABの行列式|AB|は|A||B|に等しいことを証明せよ。 明日提出の宿題で困ってるので教えてもらえませんか?
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 正則行列、ユニタリ行列、上三角行列、一意性の証明
定理 任意のn次正則行列Aはユニタリ行列Uと,対角成分が正の実数であるような上三角行列(下三角でもいい)Tの積UT(TUでもいい)として一意的に表わされる 1.表示可能性の証明←完了 2.一意性の証明←写真はここ 下から3行目以降がわか りません B*=B^(-1)よりBは上三角かつ下三角? その対角成分b(i,i)はb(i,i)^2=1?
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 線形・行列の証明がさっぱり。。。
対角成分以外がゼロである正方行列を対角行列という。対角行列の固有値は、対角成分に等しいことを示せ。また、対角成分より左下(右上)の成分がゼロである正方行列を上三角行列(下三角行列)という。上三角行列、下三角行列の固有値が対角成分に等しいことを証明せよ。 この証明がさっぱりわかりません。ご指導お願い致します。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 転置行列 証明 行列の積
転置行列の証明について疑問点があるので 質問させて頂きます。 t(AB)=t(B)t(A) の証明について。以下に示します。 行列 A の (i,j) 成分を A[i,j] と書くことにします。 行列Bも同様。 (t(AB))[i,j] = (AB)[j,i] = Σ A[j,k] B[k,i] = Σ (tA)[k,j] (tB)[i,k] …(1) = Σ (tB)[i,k] (tA)[k,j] …(2) = ((tB)(tA))[i,j] よって、 t(AB) = (tB)(tA) (1)についてよくわかりません。 行列の積は、 (l,m)行列と(m,n)行列の積は(l,n)行列と定義されますが (1)は(m,l)行列と(n,m)行列の積を計算することに ならないのでしょうか? (m,l)行列と(n,m)行列の積は定義されないので等式でつないでは いけないのでは?と考えた次第です。 以上、ご指摘、ご回答よろしくお願い致します。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 3次正方行列が対角化不可能になる条件
3次正方行列A A= (2 a 1) (1 2 1) (0 0 1) Aが対角化不可能であるとき、パラメーターaの満たすべき条件を求めよ。 という問題です。 また、Aが対角化できない場合のaに対して、AのJordan標準形を求める問題もその続きに ありますけれども、 Jordan標準形っていうのはAを上三角化してできた行列のことですか? 対角化不可能な3次正方行列はどんな行列なのかわからなくて、問題が進められません。 上三角化ならなんとかできます。 では、ご指導よろしくお願いします!
- ベストアンサー
- 数学・算数