• ベストアンサー

正則行列、ユニタリ行列、上三角行列、一意性の証明

定理 任意のn次正則行列Aはユニタリ行列Uと,対角成分が正の実数であるような上三角行列(下三角でもいい)Tの積UT(TUでもいい)として一意的に表わされる 1.表示可能性の証明←完了 2.一意性の証明←写真はここ 下から3行目以降がわか りません B*=B^(-1)よりBは上三角かつ下三角? その対角成分b(i,i)はb(i,i)^2=1?

質問者が選んだベストアンサー

  • ベストアンサー
回答No.1

まず、Bが正則上三角だから、直ぐ上で示しているようにB^{-1}は上三角。今B^{-1} = B*だからB*は上三角。従って B = (B*)*は (B*を転置して、各成分を複素共役にするのだから)下三角。 そして、b(ii)が実数なのだから、(B*)(ii) = (bii)の複素共役 = b(ii)。B, B*ともに対角行列で、B(B*) = Eなのだから、そのii成分を計算すれば、(bii)^2 = 1となる。

shoichi_0313
質問者

お礼

ありがとうございます👍

全文を見る
すると、全ての回答が全文表示されます。

関連するQ&A

  • 上三角行列同士をかけたときの積も上三角行列となることを示すには?

    正方行列AとBがともに上三角行列であるとき、積ABもまた上三角行列となることを示せ。 という問題がわかりません。 自分で解こうとしましたが、以下のような状態で、証明できていません(^_^;) 行列式|A|はAの対角成分を掛け合わせたもの。同様に行列式|B|はBの対角成分を掛け合わせたものになっている。また、|AB|=|A||B|より、積ABの行列式はAとBの全ての対角成分を掛け合わせたものとなる。よって、|AB|はAとBの対角成分のみから構成されているので、積ABもまた上三角行列である???

  • 線形・行列の証明がさっぱり。。。

    対角成分以外がゼロである正方行列を対角行列という。対角行列の固有値は、対角成分に等しいことを示せ。また、対角成分より左下(右上)の成分がゼロである正方行列を上三角行列(下三角行列)という。上三角行列、下三角行列の固有値が対角成分に等しいことを証明せよ。 この証明がさっぱりわかりません。ご指導お願い致します。

  • (1)2つの上三角行列A、Bの積ABは上三角行列になることを証明せよ。

    (1)2つの上三角行列A、Bの積ABは上三角行列になることを証明せよ。 (2)2つの上三角行列A、Bの積ABの行列式|AB|は|A||B|に等しいことを証明せよ。 明日提出の宿題で困ってるので教えてもらえませんか?

  • 正則な行列によってできる行列は正則か?

    正則である行列A,Bがあるとします. この時,この行列のみの積を用いて行列を作った場合(例えばAB^-1Aなど),その行列は必ず正則であると言えるのでしょうか? もしくは,演算後の行列が正則であるかどうかは別問題であるのでしょうか? 反例や証明等があれば教えていただきたいです. よろしくお願いします.

  • 三角行列 対角行列

    三角行列における行列式の計算は、 対角成分の総積で計算できますが、 対角行列(正方行列であって、その対角成分以外がゼロ であるような行列の事。)の行列式も同様に対角成分の 総積で計算して良いでしょうか? 以上、ご回答よろしくお願い致します。

  • 正則行列の証明(代数学)

    「n次正方行列Aについて次のことを証明せよ」という課題に取り組んでいます。ですが、下記の部分だけが合格できない状態です。力を貸して下さい。 『「Aは基本行列の積として表される」ならば「Aは正則」である。ことを証明せよ。』 というものです。解答としては、 「Aを基本行列の積に表す。基本行列は正則であり、正則行列の積はまた正則であるから・・」ということを証明すればいいと思うのですが・・・。アドバイスをお願い致します。 

  • 上三角行列

    上三角行列の定義は「左下部分は0である行列」と教科書にのっていますが、対角成分と右上の部分に対して、0に関する制限はありますか?例えば、n次の正方行列Aは上三角行列である。このとき、「Aの右上部分と対角成分はすべて0ではない」とは言えますか?

  • 数学、行列の問題です。特に一意性がわかりません。

    証明問題が3題あって、恐らく(1)は解けたのですが、(2)と(3)がうまく示せません。 どなたか教えていただけないでしょうか。 (1) 正定値対称な実行列Aに対して、A=B^2を満たす正定値対称な実行列Bが一意に存在することを示せ。 (2) 正則な実行列Fに対して、条件F=RUを満たす直交行列Rと正定値対称な実行列Uが一意に存在することを示せ (3) 正則な実行列Fに対して、条件F=RU=VRを満たす直交行列Rと正定値対称な実行列U、Vが一意に存在することを示せ。 (1)は、対角化してちょっといじれば示せました。 どうかよろしくお願いいたします。

  • ユニタリ行列

    ユニタリ行列 ユニタリ行列の定義に関して質問です.線形代数の本を読むと,ユニタリ行列の定義は  UU^*=I(単位行列)     (1) を満たす行列Uである,というようなことを書いてあります.ところが,本によっては  UU^*=U^*U=I         (2) というように  U^*U=I           (3) という記述が追加されている場合があります,これは (a)定義としては(1)だけで十分だが,(1)を満たすUは(3)も満たすので,まとめて(2)のように書いてある (b)(1)と(3)の両方を満たすUがユニタリ行列である のどちらでしょうか?(a)である場合,(1)か(3)のどちらかを定義として採用すればいいということになると思いますが,その場合一方から他方を導くやり方を教えていただきたいです. よろしくおねがいします.

  • 三角行列の問題で悩んでいます。

    三角行列の問題で悩んでいます。 上三角行列と下三角行列の積について、どのようなことが分かるか考えてみよ。 これはどんなことを答えたら良いのでしょうか?とりあえず一般の式で三角行列の積を作って考えてみたのですが、わかりません。 分かる方がいらっしゃいましたら回答お願いいたします。

YOGA Smart Tab外付ディスプレイ出力
このQ&Aのポイント
  • YOGA Smart Tab(YT-X705F)で外付ディスプレイを使う方法を解説します。
  • 外付ディスプレイをYOGA Smart Tabに接続し、画面を出力する方法について詳しく説明します。
  • YOGA Smart Tabと外付ディスプレイを接続して、PCのように使用する方法について解説します。
回答を見る