逆行列の公式の証明方法
- 逆行列の公式の証明方法について説明します。
- 公式は(A+BC)^-1 = A^-1 - A^-1*B(I+CA^-1*B)^-1*CA^-1です。
- 証明には行列の性質と行列式の性質が用いられます。
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逆行列の公式 証明お願いします
逆行列の公式 証明お願いします n*n A Aは正則 n*m B m*n C m*m D (A+BC)^-1 = A^-1 - A^-1*B(I+CA^-1*B)^-1*CA^-1 A=Iなら I - B(I+CB)^-1*C = I - BC(I+BC)^-1 = I - (I+BC)^-1*BC 上記のものと S = D - CA^-1*Bとおき det(A)≠0 det(S)≠0のとき |A B|^-1 = |A^-1 + A^-1*BS^-1*CA^-1 -A^-1*BS^-1| |C D| | -S^-1*CA^-1 S^-1 | ||でくくったのは行列式ではなく 行列の行列です こうなるらしいのですが 証明など書かれておらず頭も悪いのでどうすればいいかもわかりません ヒントでもいいので教えていただけませんか?
- anisakis
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(A+BC)~ = A~ - A~B(I+CA~B)~CA~ これは、左辺の逆を右辺に掛けてみるのが早そう。 (A+BC){A~ - A~B(I+CA~B)~CA~} = AA~ + BCA~ - B(I+CA~B)~CA~ - BCA~B(I+CA~B)~CA~ だが、右辺の最後の二項は、 B(I+CA~B)~CA~ + BCA~B(I+CA~B)~CA~ = B(I+CA~B)(I+CA~B)~CA~ = BCA~ なので、 (A+BC){A~ - A~B(I+CA~B)~CA~} = AA~ + BCA~ - BCA~ = AA~ = I
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- 178-tall
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>最初のほう ..... y = -(D-CA~B)~CA~v + (D-CA~B)~w を x = A~v - A~By …(3) へ代入した、ように見えますね。
補足
説明不足でした 自分が聞きたかった最初というのは (A+BC)^-1 = A^-1 - A^-1*B(I+CA^-1*B)^-1*CA^-1 A=Iなら I - B(I+CB)^-1*C = I - BC(I+BC)^-1 = I - (I+BC)^-1*BC これのことです 後半のものは分かりやすくて理解できました
- 178-tall
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部分行列の正則性やサイズの整合性は OK として、方針だけでも…。 消去法です。 Ax + By = v …(1) Cx + Dy = w …(2) (1) から、 x = A~v - A~By …(3) M~ は M の逆行列 (3) を (2) へ代入。 C(A~v - A~By) + Dy = w …(4) (D-CA~B)y + CA~v = w y = -(D-CA~B)~CA~v + (D-CA~B)~w …といった調子です。
お礼
わかりやすかったです y=Axから x=A~yをだすような感じですね ありがとうございました もしよろしければ 最初のほうも教えていただけると助かります
- f272
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要するに最後の式は (A^-1 + A^-1*BS^-1*CA^-1)A+(-A^-1*BS^-1)C = I (A^-1 + A^-1*BS^-1*CA^-1)B+(-A^-1*BS^-1)D = O (-S^-1*CA^-1)A+(S^-1)C = O (-S^-1*CA^-1)B+(S^-1)D = I と言ってるんだよね。 1番目の式と3番目の式は展開するだけだし,2番目の式と4番目の式は S = D - CA^-1*B を使ってD = S + CA^-1*Bを代入すればやはり簡単に示せるよ。
お礼
ちゃんと計算すればでましたね 頭硬くて教えてもらうまで考えられませんでした ありがとうございました もしよろしければ 最初に示したほうも教えてもらえると助かります
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