複素行列の余因子行列の証明問題はこれでOK?

質問

複素数なのでいまいち自信がありません。

A~をn×n正則行列Aの余因子行列, (-1)^{i+j}|A(i|j)|を余因子の事とします。
そしてA^*をAの転置共役行列, A^{-*}:=(A^*)^{-1}とします。

その時, A~=|A|A^{-*}を証明したいのですが下記のとおりで大丈夫でしょうか?

[証]
A~A^*=((-1)^{i+j}|A(i|j)|)(\bar{a}_{j,i}) (但し, \bar{a}_{i,j}はa_{i,j}の共役複素数の事です)
=
|A|,0,0,…,0
0,|A|,0,…,0
:
0,0,…,0,|A|

∵ Laplaceの展開式より

=|A|I_n (ここで,I_nはn次単位行列).

従って, A~=|A|A^{-*}. 終

それと, cが複素定数の時,
(cA)~=c^{n-1}A~を示しているのですが

[証]
(cA)~=((-1)^{i+j}|cA(i|j)|)
=((-1)^{i+j}c^{n-1}|A(i|j)|)
=c^{n-1}((-1)^{i+j}|A(i|j)|)
=c^{n-1}A~

となったのですがこれも大丈夫でしょうか?

回答No.3

Tacosan · ベストアンサー

うん, 結果的には実数のときと何も変わらないはず.

ただ, 「Laplaceの展開式より」のところは乱暴すぎると思います. 実際, 質問文では見事に間違えていたわけだから, 本当に成り立つのか確認しておいた方がいいかもしれません.

お礼

了解です。チェックしてみたいと思います。

回答No.2

Tacosan

とりあえず, 簡単な行列で A~=|A|A^{-*} が成り立つかどうか確認してみては?

お礼

有難うございます。早速試してみました。

A:=
2i,1+i
1,2
の時,
A~=
2,-1-i
-1,2i
なので,A~に1/|A|を掛けると
(1/|A|)A~=
-1/5-3i/5,-1/5+2i/5
1/10+3i/10,3/5-i/5
となり,これはA^-1でした。

ということはAが複素行列でもA~=|A|A^-1となるのですね。

そうしますと,

[証]
A~A^-1=((-1)^{i+j}|A(i|j)|)(a_{j,i})
=
|A|,0,0,…,0
0,|A|,0,…,0
:
0,0,…,0,|A|

∵ Laplaceの展開式より

=|A|I_n (ここで,I_nはn次単位行列).

従って, A~=|A|A^-1. 終

でいいのですね。実行列の時と何ら変わりないのですね。

[証]
(cA)~=((-1)^{i+j}|cA(i|j)|)
=((-1)^{i+j}c^{n-1}|A(i|j)|)
=c^{n-1}((-1)^{i+j}|A(i|j)|)
=c^{n-1}A~
も数値を当てはめてみましたら上手くいきましたのでこの証明で問題ないのですね。

回答No.1

Tacosan

うぅんと, そもそも A~=|A|A^{-*} は大丈夫なんでしたっけ?

A として「対角成分が i だけの 2次行列」を持ってきてもアウトっぽい気がするんだけど.... 気のせいかなぁ?

補足

結論,A~=|A|A^{-*}が間違ってますでしょうか?

もしそうなら,どのように訂正すれば。。