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余因子行列を求める写像について分かりません

宜しくお願い致します。 f:C^{n×n}→C^{n×n}をf(A)はAの余因子行列とする写像とする時, fは全射ですか? 全射でないなら像f(C^{n×n})はどんな集合になりますか? H:={A∈C^{n×n};Aは正値エルミート}とし, fをHからHへの写像と制限するとこのfは全単射になりますが, fが全単射となるような制限は正値エルミートだけでしょうか? 他にあればご紹介下さい。

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  • 回答No.3
  • tmpname
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更に間違えた... n-1, n-2, ..., 2の値を取らない、の誤りです

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質問者からのお礼

単射についてですが, A~=B~を仮定した時,det(A)^n=det(B)^nが成立てばならA^{-1}=B^{-1}となり,A=Bが導けるので, det(A)^n=det(B)^nなる条件が単射になる条件ですね。 0<det(A),0<det(B)の時に限るのでA,Bが正値エルミートの時に制限した時かつその時に限り写像fは全単射となるのですね。

質問者からの補足

大変有難うございます。とても参考にさせていただいてます。 因みに単射にするにはどのような制限が考えてられ√のでしょうか?

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  • 回答No.2
  • tmpname
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> f(A)のrankは、n-2, n-3, ..., 1の値を取らない n-2, n-3, ..., 2の値を取らない、の誤りです。

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  • 回答No.1
  • tmpname
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n=1の場合はいいとして、n=2の場合も実際に余因子行列を計算すれば、fは全射であることはすぐに分かると思います。 さて、n≧3の時はそうなりません。というのも http://detail.chiebukuro.yahoo.co.jp/qa/question_detail/q11129345786 にあるとおり、rank f(A) = n (rank(A) = n), 1 (rank(A) = n-1), 0 (それ以外)となって、f(A)のrankは、n-2, n-3, ..., 1の値を取らないからです。 ところで、勝手な正則な行列Yを取った時、f(X) = Yとなるようなものがあるかといえば、C^{nxn}の場合はあります。 というのが、Yの逆行列をZとすると、実数k≠0に対し f(kZ) = det(kZ) * inv(kZ) [inv(kZ)は kZの逆行列] = (k^n) * det(Z) * (1/k) * Y = (k^(n-1)) * det(Z) * Y となるから、 k = {det(Z)} ^ (-1/(n-1)) とおけば、 f(kZ) = Yとなります。 従って、fを正則行列全体に制限したものは全射です。 一方、rank Y = 1なる勝手なYに対し、f(X) = YとなるYが必ず存在するかは、調べてません。

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