逆行列をかけると単位行列Eになる証明

質問

画像について、下の方の（ii）がわかりません。
一番わからないのは「ｊ行の成分がai1、ai2、・・・ainとなって」というところです。
（１）
「行列式の第ｊ行による余因子展開の式になっている」ということについて、「ｊ行の余因子展開」は、行列Aの余因子に対して行列Aのｊ行の成分をそれぞれ掛けたものであると認識していますが、違うのでしょうか。
（２）
(1)の、積の成分Cは余因子展開された値だから、Cの右辺は（ｎ－１）次正方行列の行列式が並ぶので、そもそも「ｊ行の成分がai1、ai2、・・・ain」にはならないと思います。
具体的に３×３の行列や２×２の行列をつくって計算しても０になりませんでした。

なにかそもそもの定義のあたりで間違っているような気がするのですが、どのあたりがおかしいでしょうか。

回答No.1

jcpmutura · ベストアンサー

行列Aのi行j列の要素aijの余因子Aijとは
Aからi行とj列を除いた
小行列式をDijとすると
Aij=(-1)^{i+j}Dij
となり
行列式|A|の「j行の余因子展開」とは
Aのj行の成分(aj1,…,ajn)に対してその余因子(Aj1,…,Ajn)をそれぞれ掛けて足したもの
aj1Aj1+…+ajnAjn
となる

n×n行列
A=(aij)
の要素aijの余因子をAij
余因子行列を(Aij)
その転置行列をt(Aij)
Aの行列式を|A|
とすると
Aの逆行列
は
A^{-1}=(1/|A|)t(Aij)
となる

AA^{-1}
=A(1/|A|)t(Aij)
=(1/|A|)A{t(Aij)}
ここで
C=(Cij)=A{t(Aij)}
とすると
AA^{-1}=(1/|A|)C
となる
C=(Cij)=A{t(Aij)}
=
(a11,…,a1n)(A11,…,Aj1,…,An1)
(……………)(……………………)
(ai1,…,ain)(……………………)
(……………)(……………………)
(an1,…,ann)(A1n,…,Ajn,…,ann)

Cij=ai1Aj1+…+ainAjn(i=1～n,j=1～n)
となるここで
(1)i=jのとき
Cjj=aj1Aj1+…+ajnAjn(j=1～n)

Aのj行の成分(aj1,…,ajn)に対してその余因子(Aj1,…,Ajn)をそれぞれ掛けて足したものなので
行列式|A|の「j行の余因子展開」になっている

Cjj=|A|,(j=1～n)

(2)i≠jのとき

Cij=ai1Aj1+…+ainAjn(i≠j)
となるが
行列式|A|の「j行の余因子展開」は
|A|
=
|a11,…,a1n|=aj1Aj1+…+ajnAjn
|……………|
|ai1,…,ain|
|……………|
|aj1,…,ajn|
|……………|
|an1,…,ann|
ここで両辺の(aj1,…,ajn)に(ai1,…,ain)を代入しても等しいから
|a11,…,a1n|=ai1Aj1+…+ainAjn
|……………|
|ai1,…,ain|
|……………|
|ai1,…,ain|
|……………|
|an1,…,ann|
右辺はCijとなり
左辺はi行とj行が同じ行列式となるので0となるから
Cij=0

例
A=
(1,2)
(3,4)
とすると
|A|=1*4-2*3=-2
a11=1の余因数A11=4
a12=2の余因数A12=-3
a21=3の余因数A21=-2
a22=4の余因数A22=1
t(Aij)=
(4,-2)
(-3,1)
C=A{t(Aij)}=
(1,2)(4,-2)
(3,4)(-3,1)
=
(1*4+2*(-3),1*(-2)+2*1)
(3*4+4*(-3),3*(-2)+4*1)
=
(-2,0)
(0,-2)
=
(|A|,0)
(0,|A|)