行列の証明

質問

行列XとYが交換可能なときXY=YXが成り立つとする。
行列AとBは交換可能でないが、AとABは交換可能で、
AとBAも交換可能である。
(1)A=a b
c d　のとき、ad-bc=０を証明せよ。
っていう問題なんですけど、ad-bc=０って言うことは
逆行列を持たないことを証明すればいいんですよね？
どうやって証明すればいいのでしょう？
(2)Aの２乗は零行列であることを証明せよ。
(1)を用いて地道に成分計算したんですけど、うまく
証明できないので助けてください。

回答No.1

leige · ベストアンサー

(1)Aの逆行列A^(-1)があれば、AとABは交換可能なことから
AAB=ABA⇔A^(-1)AAB=A^(-1)ABA⇔AB=BA
これはAとBが交換可能でないことに矛盾する。

(2)A^2の成分計算をしてbc=ad(ad-bc=0)を代入すると
A^2=(a+d)A
またIを単位行列としてA^2-(a+d)A+(ad-bc)Iの成分計算をして
A^2-(a+d)A+(ad-bc)I=O
上の二つの式から
A^2=O
となる

お礼

ありがとうございました！！