• ベストアンサー
  • すぐに回答を!

逆行列の証明

逆行列の証明 行列Aに対して、AX=Eを満たす行列XをX=(p,q,r,s)とするとap+br=1・・・(1) aq+bs=0・・・・(2) cp+dr=0・・・・(3)、cq+ds=1・・・・(4) (1)×d-(3)×bから(ad-bc)p=d (2)×d-(4)×bから(ad-bc)q=-b (3)×a-(1)×cから(ad-bc)r=-c (4)×a-(2)×cから(ad-bc)s=a ?=ad-bcnot=0のとき p=d/?,q=-b/?,r=-c/?,s=a/?ゆえにX=1/?(d,-b,-c,a) このようにXを定めると、上の計算の逆をたどってAX=E ・・・・・・・以下省略 教えてほしいところ 何故、上の計算の逆をたどる必要があるのか理解できません。 AX=Eが成り立つようなXを求めたんだから、AX=Eが成り立つに決まってませんか??? 確認する必要性を教えてください

共感・応援の気持ちを伝えよう!

  • 回答数1
  • 閲覧数110
  • ありがとう数1

質問者が選んだベストアンサー

  • ベストアンサー
  • 回答No.1
  • alice_44
  • ベストアンサー率44% (2109/4758)

AX=E から式変形を繰り返して その解に至ったのですから、 必要であることは当然です。 しかし、 複数の式が交錯する変形を行っていますから、 同値性までは、自明とは言えないでしょう。 だから、 最後に十分性を確認するのですが、 「逆にたどって」では、イマイチな感じです。 それで済むのなら、最初から各ステップが 必要十分であることが解っていた ことになりますから、確認するまでもない。 「この解を AX=E に代入すると、成立してる」 のほうが、マシでしょう。

共感・感謝の気持ちを伝えよう!

質問者からの補足

必要十分条件の考え方が微妙です。 必要性だけでまずい理由を詳しく教えて下さい。 また、複数の式が交錯する変形を行っていると何故 同値性までは、自明とは言えないでしょうか??

関連するQ&A

  • 行列の積、どうしてそのように定義するの?

    簡単のために2X2行列を考えます。 A=( a b )   ( c d ) , B=( p q )   ( r s ) とすると,  AB = ( a b )( p q )      ( c d ) ( r s ) = ( ap+br aq+bs )   ( cp+dr cq+ds ) と積が定義されますが、なんの理由、なんの目的があってそのような定義がされるのでしょうか?

  • 行列の計算方法

    行列を計算したいのですが方法がわからずに困っています。 以下のように(A)*(B)の順番はわかるのですが(A)*(B)*(C)の計算方法がわかりません。書籍やグーグル当などで探したのですが、適当なものを見つけることができませんでした。 計算法もしくは、方法が記載されているサイトなどご存知でしたら教えていただけないでしょうか、よろしくお願いいたします。 (A)*(B) = |a b||p q| = |ap + br, aq + bs| |c d||r s| |cp + dr, cq + ds| (A)*(B)*(C) = |a b||p q| |vw| = ?? |c d||r s| |xy|

  • 逆行列の公式 証明お願いします

    逆行列の公式 証明お願いします n*n A Aは正則 n*m B m*n C m*m D (A+BC)^-1 = A^-1 - A^-1*B(I+CA^-1*B)^-1*CA^-1 A=Iなら  I - B(I+CB)^-1*C   = I - BC(I+BC)^-1 = I - (I+BC)^-1*BC 上記のものと S = D - CA^-1*Bとおき det(A)≠0 det(S)≠0のとき |A B|^-1 = |A^-1 + A^-1*BS^-1*CA^-1   -A^-1*BS^-1| |C D|     |    -S^-1*CA^-1              S^-1 | ||でくくったのは行列式ではなく 行列の行列です こうなるらしいのですが 証明など書かれておらず頭も悪いのでどうすればいいかもわかりません ヒントでもいいので教えていただけませんか?

  • 行列の証明問題です。

    大学受験問題の参考書にのっているのですが、わかりません。よろしくお願いします。 この問題は、行列なので、行列の中は、(a,b,c,d)=(左上、右上、左下、右下)というように書かせてもらいます。 問題は、 2x2行列A=(a,b,c,d)に対し、Δ(A)=ad-bcとする。このとき、次の等式を証明せよ。 Aが逆行列をもつとき、Δ(A^-1)=Δ(A)^-1 私は実際に計算し、等号で結ぼうと思いました。 私の計算結果は次の通りです。 A^-1=1/(ad-bc)(d,-b,-c,a)より Δ(A^-1)=(1/(ad-bc))*(ad-bc)=1・・・I Δ(A)^-1=(ad-bc)^-1=1/(ad-bc) ですが、上記のように、答えがありません。 解答はこのように具体的には計算しない解法なのですが、 私のように実際に計算しても答えは合うはずですよね? でもどこが間違っているのかわかりません。 どなたかご存知の方、アドバイスをいただけませんか。 よろしくお願いいたします。

  • 逆行列を求める式変形がよく分かりません。

    2次正方行列の逆行列をもとめる途中式なんですが、次のように教科書に書いてあります。 A=(a,b; c,d)に対し、AX=Eを満たす行列X=(x,y; z,w)が存在すると仮定する。このとき AX=(ax+by,az+bw; cx+dy,cz+dw)、E=(1,0;0,1)であるから次の等式が成り立つ。 ax+by=1かつcx+dy=0かつaz+bw=0かつcz+dw=1 ここから次の関係式がえられる。 x(ad-bc)=d、y(ad-bc)=-c、z(ad-bc)=-b、w(ad-bc)=a これはどんな変形をして「次の関係式」を導いたのでしょうか?すみませんが教えてください。

  • 3×3行列の逆行列

    2×2行列の逆行列はいわずと知れた、 A= (a b) (c d) に対し A^(-1)=1/(ad-bc) * (d -b) (-c a) ですよね。 でも3×3行列Xの逆行列X^(-1)の一般式って教科書に載ってないんですよね。 具体的にXが数値的に与えられてるときは基本変形を使って (X E)→…→(E X^(-1)) と逆行列を求める方法は示されてるのですが一般式となると載ってない。 これは書こうとするととんでもなく面倒な式になるからなのでしょうか? X= (x_11 x_12 x_13) (x_21 x_22 x_23) (x_31 x_32 x_33) の逆行列、表せるのであれば教えてください。

  • 数Cの逆行列について

    受験生なのですが、分からない問題があって困っています。 成分が全て実数である行列 A=(a b c d ) があり、a+d=-1,ad-bc=1 とし、E=(1 0 0 1) とする。 実数kの値によらずA-kEは逆行列をもつことを示せ。 です。お願いします。

  • 行列の証明

    行列XとYが交換可能なときXY=YXが成り立つとする。 行列AとBは交換可能でないが、AとABは交換可能で、 AとBAも交換可能である。 (1)A=a b c d のとき、ad-bc=0を証明せよ。 っていう問題なんですけど、ad-bc=0って言うことは 逆行列を持たないことを証明すればいいんですよね? どうやって証明すればいいのでしょう? (2)Aの2乗は零行列であることを証明せよ。 (1)を用いて地道に成分計算したんですけど、うまく 証明できないので助けてください。

  • 行列の問題の解答について

    こんにちは。  質問) A=(  ), B=(   )と2×2の正方行列があり、AX=BとなるXを求めよ。     と問題があったときに、解答を次のようにしてかまいませんか?  解) X=A^(-1)B=( )( )=( )   説明もなく、いきなり上記でいいのでしょうか?   参考書などは、Aの逆行列が存在するか確かめて、Aの逆行列を求めています。   また、AX=Bの左からA^(-1)をかけて       A^(-1)AX=A^(-1)B より、X=A^(-1)B=(  )(  )=(  )  と書かれています。   このように書かないと減点でしょうか? 何を記述すればいいのでしょうか?  また、教科書は、ad-bcをデルタとしていますが、|A|=ad-bcと記述していいのでしょうか?

  • 行列の証明問題です

    A=[a,b;c,d]がbc≠0かつA^2を=0満たすとき、ad-bc=0であることを示せ。 という問題で背理法で解こうとししたんですけど ad-bc≠0であると仮定すると Aに逆行列が存在するから A^2=0の両辺に左からA^(-1)をかけると A=0となり [a,b;c,d]=0であるから a=0,b=0,c=0,d=0 このことはbc≠0に矛盾する したがってad-bc=0である って考えました。合ってるかどうかわからないんで、合ってるかどうか教えてください。