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行列の対角化の問題です。

 見にくくて恐縮です。画像も参照してください。  2次正方行列 A の対角化が   ┌  ┐   │x 0│   │0 y│   └  ┘ のとき det(A) を求める。     ┌   ┐         1 ┌   ┐   P =│a  b│  P^(-1) = ────│ d -b│     │c  d│       ad - bc │-c a│     └   ┘,          └   ┘.        ┌  ┐   P^(-1)AP =│x 0│        │0 y│        └  ┘.   PP(^-1)AP = AP    ┌   ┐┌  ┐ ┌   ┐    =│a  b││x 0│=│ax by│    │c  d││0 y│ │cx dy│    └   ┘└  ┘ └   ┘.   A = APP^(-1)      1 ┌   ┐┌   ┐    = ────│ax by││ d -b│     ad - bc │cx dy││-c a│        └   ┘└   ┘     1  ┌         ┐    = ────│adx-bcy -abx+aby│     ad - bc │cdx-cdy -bcx+ady│        └         ┘  ここまで合ってるでしょうか?  合っていても   det(A) = 1/(ad-bc)( (adx-bcy)(-bcx+ady) - (-abx+aby)(cdx-cdy) ) を計算するのはメンドイです。行列式ならもっとうまい方法で求められるのでしょうか?

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一般的にX, Yが共に2次正方行列だったとき、 det(XY) = det(X) * det(Y) が成り立つことを知っていれば、なんの問題もないはずですが... もう一言言っておくと、P(P^{-1}) = Eで、det(E) = 1ですね。

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