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行列の平方根？のようなもの

任意の2x2行列B=（p, q, r, s)に対して、B=A^2を満たす行列A=(a, b, c, d)の各要素をp, q, r, sで表すことは可能でしょうか？ A^2の各要素を計算すると、a^2+bc, b(a+d), c(a+d), bc+d^2となります。これらにp, q, r, sを対応させて、 p = a^2+bc, q = b(a+d), r = c(a+d), s = bc+d^2の方程式を解けばいい、と思ったのですが、私には解けません。 こんな私ですが、ご教授いただければ幸いです。

質問者が選んだベストアンサー

  • ベストアンサー
回答No.1

行列の名前を A とすると、これが対角化可能ならAの平方根を計算できます。 Aが対角化可能なら P^(-1)AP = (λ1, 0, 0 λ2) ＃(a, b, c, d) は2x2 の行列を表すとします。 ＃λ1, λ2 はAの固有値 となる行列 P が存在します。Pの求め方は線形代数の本には 必ず載ってますので、見てください。 これを変形すると A = P(λ1, 0, 0 λ2)P^(-1) ここで B=P(λ1^(1/2), 0, 0, λ2(1/2))P^(-1) という行列の２乗は B^2=P(λ1^(1/2), 0, 0, λ2(1/2))P^(-1) P(λ1^(1/2), 0, 0, λ2(1/2))P^(-1) =P(λ1^(1/2), 0, 0, λ2(1/2))(λ1^(1/2), 0, 0, λ2(1/2))P^(-1) =P(λ1, 0, 0 λ2)P^(-1)=A つまり B は A の平方根です。平方根に限らず A の任意のべき乗を計算できます。 ベクトル形式の一階の線形微分方程式の解を知りたいときに使う常とう手段ですね。 より一般的な対角化不能な場合や正則ではない場合はよく覚えていないのでパス(^^;

baaakkkiii
質問者

お礼

ご丁寧に解説いただき、ありがとうございました。早速勉強します。べき乗も求められたら、面白そうです。

その他の回答 (2)

  • Tacosan
  • ベストアンサー率23% (3656/15482)
回答No.3

正則じゃなくても対角化できれば同じことだし, 対角化できない場合はジョルダン標準形から (少なくとも 2×2 行列なら) 計算できます (がそもそも平方根が存在しない場合もある)＞#1.

baaakkkiii
質問者

お礼

たいへん役に立つ情報をありがとうございます。早速勉強します。御礼申し上げます。

回答No.2

ミス発見 λ2(1/2)→λ2^(1/2)

baaakkkiii
質問者

お礼

ご丁寧にありがとうございます。

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  3. 数学・算数

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