逆行列の存在

質問

a^2+b^2+c^2+d^2<1で
行列Aは一行一列目a,一行二列目b,二行一列目c,二行二列目d
のとき、Ｅ－Ａは逆行列をもつことを示せ。Ｅは単位行列。

考えたのは
(1)　Ｂ（Ｅ－Ａ）＝Ｅ　となるＢが存在することをしめせばよいと思いましたが、
　　この形にできませんでした。
(2)　(1-a)(1-d)-bc の値が０でないことを、a^2+b^2+c^2+d^2<1を使いしめせば
　　よいと思い、式変形を試みましたがうまくいきませんでした。
　　-1<a<1,b,c,dも同様、このことは押さえなければとは思いました
よろしくおねがいします

回答No.2

momordica · ベストアンサー

方針（2）の方で考えていけばいいと思います。
この場合、(1-a)(1-d)-bcは0にならないというか、必ず正になりますね。

　(1-a)(1-d)-bc={(1-a-d)^2+(b-c)^2+(1-a^2-b^2-c^2-d^2)}/2>0

この問題は要するに「１はAの固有値ではない」ってことを示せということなので、
別のアプローチもあるかもしれません。
ちなみに、念のため確認しておきますが、a～dは全部実数ですよね？

お礼

回答ありがとうございます
式変形のプロセスを知りたいと思いました
全部実数です。

回答No.5

momordica

> 式変形のプロセスを知りたいと思いました

うーん、どう答えたものか…
単に項の組み合わせから、こうするとうまく行きそうと思った式を作ってみたら
思った通りうまく行ったというだけだったりするんですが…
無理やり演繹的な式変形っぽくするならこんな感じでしょうか

　(1-a)(1-d)-bc
　　=1-a-d+ad-bc
　　=1-(a+d)+(1/2)((a+d)^2-a^2-d^2)+(1/2)((b-c)^2-b^2-c^2)
　　=(1/2)((a+d)^2-2(a+d)+2+(b-c)^2-(a^2+b^2+c^2+d^2))
　　=(1/2)((a+d-1)^2+1+(b-c)^2-(a^2+b^2+c^2+d^2))

やっぱり天下り感満載ですね。

> A が 1 を固有値に持たなければ、Ｅ－Ａが逆行列を持つことにどうつながるのか

固有値の定義に戻って考えてください。
あるベクトルxに対してAx=xが成り立つすると
　Ax-x=0
　(A-E)x=0
この式を満たすような0でないxが存在する、すなわち1がAの固有値であるための
必要十分条件は、(A-E)が逆行列を持たないことです。
もし(A-E)が逆行列を持つなら、この逆行列を両辺にかけて
　x=0
となり、Ax=xを満たす0でないベクトルxは存在しませんので、Aは1を固有値にもちません。
逆は確かめてみてください。

というか、(1-a)(1-d)-bcというのは、Aの固有多項式に1を代入したものそのものです。
この式の値が0になるなら、1は固有多項式の根、すなわちAの固有値ということですし、
逆に0にならないなら、1はAの固有値ではないということです。

回答No.4

Tacosan

「λ が A の固有値なら 1-λ は E-A の固有値」ですね.
? と思ったら, x を対応する固有ベクトルとして確認してみてください.

回答No.3

Tacosan

そうか, 「A が 1 を固有値に持たない」って言えばよかったんですね＞#2. いかんなぁ, 頭が固くなってる....

ユークリッドノルムとコーシーシュワルツの不等式を使えば, (不完全だけど) それほど難しくないですね. きっちりがんばれば, 「A の固有値は絶対値が 1 より小さい」ことまで言えるかもしれないです.

お礼

回答ありがとうございます
A が 1 を固有値に持たなければ、Ｅ－Ａが逆行列を持つことにどうつながるのか
ちょっと分かりませんでした

回答No.1

naniwacchi

こんにちわ。

(2)の方法で
E- Aの行列式が 0であると仮定したときに a^2+ b^2+ c^2+ d^2≧ 1となってしまうこと
が示せればいいような気はします。
（すみません、計算はしてません。）

お礼

回答ありがとうございます
背理法ですか
計算したいと思います