行列が存在する条件

質問

２行２列の行列Ａ＝（a b） １行１列ａ、１行２列ｂ、２行１列ｂ、２行２列ｃ
(b c)
ｂ＝０、１の場合、ｘ＾２＝Ａを満たすＸ＝（ｘ y）が存在するａ，ｃの条件を求めよ。
(z w)
(1)ｂ＝０のときは、a=x^2+yz,y(x+w)=0,c=yz+w^2 を満たす(x,y,z,w)が存在するa,cの条件を
求めることになる。ア．y=0のとき、ａ＝＞０、ｃ＝＞０。イ．x+w=0のとき、a^2=x^2+yzを満たすx,yzが
任意のaに対して、存在する。（ちょっとあやしいが）ということは、b=0のときは、ａ，cはすべての数になるのか？。

(2)b=1のときは、a-b=x^2-w^2にw=1/y-xを代入して、(a-c)y^2-2xy+1=0 これで、ｙが存在するためには判別式Ｄ＝＞０と進めていくと、x^2-(a-c)=>0となり、この式を満たすxは、ａ，ｃが何であっても存在すると思ったので、そうするとやっぱり、ａ，ｃはすべての数となる。

(1)と(2)について、間違えを教えてもらえると有り難いです。よろしくお願いします。

回答No.3

ringohatimitu · ベストアンサー

とりあえずパッと見その解答はおかしいですね。行列式を考えてみましょうか。実行列に限ってるわけだから、bの値によらずAの行列式は非負であるはずです。これからすぐに少なくとも「(1)ac≧0 (2)ac≧1」でなければならないことは分かるでしょう。(1)も(2)もその条件がすべてですが？どうも途中一つか二つくらい式を落としてしまってるか、計算途中で情報を失ってしまってるように思えますが。

お礼

回答ありがとうございます
確かに、少なくとも「(1)ac≧0 (2)ac≧1」でなければならない。
どこで、条件を落としたのか、・・・・。解の存在が、判別式だけだと不十分なのか・・・。
間違いがわかりません。

回答No.7

Tacosan

だから, (1) と (2) のどちらについていってるの? それとも, (1) と (2) のどちらも
「a,cが平方の和になっている」
と言いたいのですか?

回答No.6

Tacosan

「a,cはブラスであることは自明だから、存在しない」
というのは (1) と (2) のどちらの話ですか? そして, なぜ「自明」なのですか?

お礼

回答ありがとうございます
a,cが平方の和になっているので。
そう思いました。

回答No.5

Tacosan

とりあえず, ここでやっているのが「必要条件を見付ける」ことであるってのは認識できていますか?

そして, ここに出ている条件 (といっていいのか?) は「必要条件」としては正しいけど, 十分条件ではない. 例えばどちらでも a = -1, c = -4 に対して行列を見付けることができますか?

お礼

回答ありがとうございます
a,cはブラスであることは自明だから、
存在しない

回答No.4

Tacosan

(1) なんか, 明らかに条件が落ちてるよね.
イ の方で, c について言及していないのはなぜ?

(2) の方も条件をじっくり見ればここの議論が不十分なのは簡単に分かります. x, y, z, w の 4つの値は完全に自由には設定できないのですが, そのことを認識できていません.

お礼

回答ありがとうございます
徐々に不備なところが明らかになってき、それだけも
価値があるのですが、それを解決するためにはとなると・・・
どうしていいのか、力不足の感あり。

回答No.2

Tacosan

x, y, z, w を複素数にしてしまうとあまり面白くない. 特に (1) は一瞬で終わってしまう.

で実数に制限するといろいろあったりなかったりするんだけど, 確かに「すべての数」というのはある意味で正しい. ただ, 問題は「a と c が独立に任意の値をとれるかどうか」だったりする.

たとえば, 「x ≦ y」という不等式があったとして, その解を「x と y はすべての値になります」といって許してもらえるかどうか, だ.

お礼

回答ありがとうございます
ａ，ｃは任意の数で、ｂ＝１という条件が付いたときに、ａ，ｃの関係がどうなるか・・・
たとえば, 「x ≦ y」という不等式があったとして, その解を「x と y はすべての値になります」といってよいかについては、よくわかりませんが、答えとしては、「x ≦ y」になると思います。

回答No.1

Tacosan

一応確認だけど, x とか y とかってのは複素数でいい?

あと, 不等号の書き方は何とかならないものだろうか. ≧ と書くか, それがだめならせめて >= と書いてほしい.

お礼

条件がはっきりしなくてすみません。
ｘ，ｙは実数です。
複素数だと、a,cの条件はもっとゆるくなってしまうのか。