論理と集合 必要条件・十分条件

質問

(1) 実数x,y,zに対し、x+2y+z^2=0はx=y=z=0であるための
必要条件であるが十分条件でない

(2) 整数nについて、√nが無理数であることは、nが奇数であるための
必要条件でも十分条件でもない

(3) a、bは実数とする。b＜0であることは、２次方程式x^2+ax+b=0が実数解をもつための
十分条件であるが必要条件でない

全て求め方が全くわかりません…。
どのように考え計算すれば良いでしょうか。

回答No.5

yyssaa · ベストアンサー

判別式D=b^2-4acに当てはめれば良いのですよね？
>> b＜0であれば
a^2≧0＞4bとなるので、↑ここがわかりません

＞この問題の判別式はD=a^2-4bです。
b＜0であれば4b＜0です。一方a^2は常にa^2≧0です。
従って、常にa^2＞4bすなわちa^2-4b＞0が成り立ち
x^2+ax+b=0は実数解をもつので、
(b＜0)→(x^2+ax+b=0が実数解をもつ)となり、
"矢の根元"のb＜0は十分条件になります。

>> しかし、b＜0←x^2+ax+b=0が実数解をもつ、は常には成り立たない。
なぜならa^2-4b≧0はa^2≧4b＞0すなわちb＞0でも成り立つからである。
↑ここがわかりません。

＞x^2+ax+b=0が実数解をもつならD=a^2-4b≧0
です。この式はb＞0であってもa^2≧4bを満たす
aであれば成り立ちます。
従ってx^2+ax+b=0が実数解をもってもb＜0とは
限らず、
常に(x^2+ax+b=0が実数解をもつ)→(b＜0)
が成り立つわけではないので、"矢の先"の(b＜0)
は必要条件にはなりません。

お礼

ようやくわかりました。
大変わかりやすい解説を本当にありがとうございました！

回答No.4

yyssaa

No.2です。
No.3さんが丁寧かつ十分な説明をして下さったので
付け加えることはありませんが、→の向きでの覚え方は、
「矢が当たると必殺だから必要条件」と教わった記憶が
あります。例えばA→Bであれば、矢が当たるBが必要
条件であり、矢の根元側のAが十分条件といった具合
でした。参考になれば幸いです。

お礼

再度わかりやすい説明をありがとうございます。

この覚え方なら頭に入りますね！

回答No.3

itshowsun

すでに回答者２さんがすばらしい回答をしています。
しかし、Ａ→Ｂの方向で十分条件と必要条件を暗記すると、
すぐにどちらか分からなくなってしまいます。
これは「右」と「左」はどっちがどっちだという問題と同じで、
これを覚えるためには、やはり
「箸を持つ手が右手で、茶碗を持つ手が左手」
という暗記のテクニックが必要です（ぎっちょの場合はもちろん反対）。

そこで論理学の立場だけでなく、数学で考えます。すなわち、集合です。
今、集合ＡとＢがあり、
　　Ａ ⊃ B
すなわち、集合ＡはＢを含みます（図参照）。
このとき、論理学では、
　　Ａ → B
が成立しています。なぜならＡであればＢは必ずＡの中にあるからです。
よって、
　　Ｂであるための十分（過ぎる）条件はＡである。
　　Ａであるための必要（であるが十分ではない）条件はＢである。
ということになります。
　例題を解くためには、左辺と右辺の解の集合を考え、
大きい集合をＡ、小さい集合をＢと考えれば、間違いなく解けるはずです。

お礼

とてもわかりやすい説明をありがとうございました。
覚え方がわかりました。

回答No.2

yyssaa

基本はA→B(AならB)が常に成り立つならAはBの十分条件で、Bは
Aの必要条件です(→の向きで覚える)。
A→B(AならB)かつA←B(BならA)が常に成り立つなら、AはBの、
BはAのそれぞれ必要十分条件です。
(1) 実数x,y,zに対し、x+2y+z^2=0はx=y=z=0であるための
必要条件であるが十分条件でない
＞
x=y=z=0→x+2y+z^2=0は常に成り立つが、x+2y+z^2=0→x=y=z=0は
必ずしも成り立たない。何故なら、例えばx=-2,y=1,z=0でも
x+2y+z^2=0になる。
よって、x+2y+z^2=0はx=y=z=0であるための必要条件であるが十分
条件でない。
(2) 整数nについて、√nが無理数であることは、nが奇数であるための
必要条件でも十分条件でもない
＞
整数nについて√nが無理数である→nが奇数、は必ずしも成り立た
ない。何故なら、例えば√2は無理数であるがn=2は奇数ではなく
偶数である。
又、整数nが奇数である→√nが無理数である、も必ずしも成り立た
ない。何故なら、例えばn=9(奇数)のとき√9=3は有理数である。
よって、→も←も常には成り立たないので、必要条件でも十分条件
でもない。
(3) a、bは実数とする。b＜0であることは、２次方程式x^2+ax+b=0が実数解をもつための
十分条件であるが必要条件でない
＞
x^2+ax+b=0が実数解をもつのは、根の判別式が正又は０、
すなわちa^2-4b≧0が成り立つときであり、b＜0であれば
a^2≧0＞4bとなるので、b＜0→x^2+ax+b=0が実数解をもつ、は
常に成り立つ。
しかし、b＜0←x^2+ax+b=0が実数解をもつ、は常には成り立た
ない。なぜならa^2-4b≧0はa^2≧4b＞0すなわちb＞0でも成り
立つからである。
よって、b＜0はx^2+ax+b=0が実数解をもつための十分条件で
あるが、必要条件ではない。

お礼

とてもわかりやすい解説をありがとうございました。

(1)、(2)は納得できました。

(3)は何度も挑戦しましたが、やはりまだわかりません。

>> x^2+ax+b=0が実数解をもつのは、根の判別式が正又は０、すなわちa^2-4b≧0が成り立つときであり、

まではわかりました。
判別式D=b^2-4acに当てはめれば良いのですよね？
>> b＜0であれば
a^2≧0＞4bとなるので、↑ここがわかりません

b＜0→x^2+ax+b=0が実数解をもつ、は
常に成り立つ。

>> しかし、b＜0←x^2+ax+b=0が実数解をもつ、は常には成り立たない。
なぜならa^2-4b≧0はa^2≧4b＞0すなわちb＞0でも成り立つからである。
↑ここがわかりません。

再度質問申し訳ありません。

回答No.1

noname#171951

(1)
必要性は明らか。
十分性についてはたとえばx=-2、y=1、z=0

(2)
必要性についてはたとえばn=9
十分性についてはたとえばn=2

(3)
必要性についてはたとえばa=-2,b=1
十分性は明らか。

お礼

ありがとうございました。

やはりわかりませんでした…