必要十分条件の証明

質問

x=(αr-βp)/(r-pq)
y=(β-αq)/(r-pq)
ただしp、q、r、α、β∈Z
整数p、q、rに関する条件|r-pq|=1は、任意の整数α、βに対し解x、yが整数であるための必要十分条件であることを証明しなさい

という問題について解答が

α=0、β=1とすると、y=1/(r-pq)
y=整数であるから、r-pq=±1が必要である
逆に、r-pq=±1のとき、x、yは任意の整数α、βに対して整数となるから十分である
したがって、求める必要十分条件は
|r-pq|=1

となっていました
ここで疑問に思ったのは任意の整数α、βに対し解x、yが整数であるからα=0、β=1とするのは理解でき、そのとき|r-pq|=1が成り立ち、逆に|r-pq|=1のとき任意の整数α、βに対して整数となるとなるのも分かるんですが、これで証明がほんとに完了してるのかということです
最初に任意の整数α、βに対しα=0、β=1を代表させていますが、例えばα=1、β=2とかα=3、β=-2とかの場合を考慮する必要はないのでしょうか？
友人にも尋ねてみたのですが、曖昧です
自分なりに考えてみた結果は、任意の整数α、βに対し解x、yが整数であることの必要条件を求めるときは、任意の整数α、βに対し解x、yが整数であるというのはあくまで条件、前提であるからその段階ではα=0、β=1と代表させても問題ない、というものなのですが果たして正しいのでしょうか？

長文で申し訳ありませんが、ご教授お願いいたします

回答No.5

Kules · ベストアンサー

三度Kulesです。
なるほど…そうきましたか。

>また明らかにC⇒Bは成り立ちます
>しかしB⇒Cは必ずしも成り立ちません
が嘘ですね。
もう少し簡単な例を考えましょう。
B:任意の実数xについて、f(x)=0
C:x=0において、f(x)=0
とあった時、B⇒Cは言えますが、CならばBといったら「ちょっと待て！」となりますよね？
（反例：f(x)=xの時、f(0)=0だがf(1)=1≠0）
ここで言えるのは、「ある条件において真である事実があった時、条件側をさらに厳しくしても真である」ということです。
「ある条件」とは、「任意の整数α、β」だったり「任意の実数x」です。
「さらに厳しい条件」とは「α=0、β=1」だったり「x=0」です。
ということで、ここの認識がまず少し違うようですね。
また、
>まず解答の手順で最初に証明しているのはC⇒Aですよね？
もイメージ的には少し違います。
この問題は「～が○○であるための必要条件であることを証明しなさい」
と書かれているためにあたかもC⇒Aを証明しているような気分になりますが、
もしこれが単に「○○となるための必要十分条件を求めなさい」という問題であれば、
C⇒Aを証明している、という感覚にはならないと思います。

これは私の完全な主観ですが、この問題におけるあなたの書いた解答は、証明しようとしているか、というと少し違います。
（もちろん証明すべき式は頭におきつつも一度知らない降りをして）十分性を満たす必要条件（つまり、必要十分条件）を求めにいったところ、たまたまその条件が証明したい式に一致していた、という類のものです。

雰囲気としては、B⇒C⇒A⇒C,Bという流れで証明は進んでいく、という感じでしょうか。
ほかの方も書かれている通り、「ほんとは書いていないところでいろいろ考えているけど、それを表には出さないでさも当然のように書いている解答である」と言っていいでしょう。

参考になれば幸いです。

お礼

重ね重ねご回答ありがとうございますm(_ _)m

>また明らかにC⇒Bは成り立ちます
>しかしB⇒Cは必ずしも成り立ちません
が嘘ですね。

なるほど、自分はこの点について思い違いをしていたようです
「ある条件において真である事実があった時、条件側をさらに厳しくしても真である」
とおっしゃることは、考えて見れば当たり前のことかもしれません
認識の誤りがあったことがわかり感謝します

>まず解答の手順で最初に証明しているのはC⇒Aですよね？
もイメージ的には少し違います。

意識的にC⇒Aを証明しているって言うわけではないってことですね
これについても少し思い違いをしていたようです

問題の解答はたまたま狭い条件でやっていたら上手くそれが十分性を満たしてラッキー、という感じの類のものであり、必要条件を完全に示し、そのあと十分条件もまた完全に示すといった方法とは少し違うのですね

大変参考になりました
再三の質問にお答えいただき本当にありがとうございました

回答No.4

koko_u_u

> それは(α,β)=(0,1)以外のどんな組をx,yに代入しても結局は同じ|r-pq|=1という必要条件が生じるということでしょうか

違います、例えば (α,β)=(0,1) からは条件Ａが得られ、(α,β)=(1,2) からは別の条件Ｂが得られます。
しかし子細に検討してみると、条件Ａは条件Ｂをも意味しており、結局条件Ａ(すなわち |r-pq|=1)しか得られない、という意味です。

> α=0, β=1だけについて考えれば問題ないという風に捉えてよろしいでしょうか？

何度も言うように、α=0, β=1 の場合が突如閃く人はいません。
様々なα、βについて検討した結果、「余分な条件」についての言及を削除して模範解答は完成していると考えて下さい。

お礼

再びのご回答ありがとうございます

問題の解答はいろいろな表現を省略して書いてあるのですね
参考になりました
ありがとうございました

回答No.3

Kules

No.2のKulesです。
>自分の示した問題の解答があれで本当に同値であるのを示せているか否かということです

これまた個人的な感想になってしまいますが、
「示せている」と思います。おそらく解答としての穴はないでしょう。ただそうそう思いつけるもんでもないかな（そういう発想にはいきつきにくいかな）、と思うのも確かです。

私がしたのは、「整数全体を見ることによって分母の条件を割り出す」ということです。
解答がしているのは、「最低限必要な条件を作り、その条件が十分性を満たしているか確かめる」ということです。

あなたが書いた解答に、私なりのセリフをつけるなら、以下のようになります（私のセリフは括弧をつけています）

（任意の整数α、βについてx,ｙが整数にならなければいけないのだから、最低限α=0、β=1の時にx,yが整数にならないんじゃハナシにならない。よって、とりあえずα=0、β=1の時を考える）
α=0、β=1とすると、y=1/(r-pq)
y=整数であるから、r-pq=±1が必要である
（少なくともこれは絶対に満たさなければならない条件だけど、これを満たしたからといってx,yが常に整数になるとは限らない。反例があるかも知れない）
（ところが）逆に、r-pq=±1のとき、（x=±(αr-βp)、y=±(β-αq)となるので、x,yは絶対に整数）
x、yは任意の整数α、βに対して整数となるから十分である
（「最低限これは必要」と絞り込んだ条件が、たまたま十分性を満たしていた）
したがって、求める必要十分条件は
|r-pq|=1

のようになります。
例えば全く同じ議論の進め方で「α=0,β=2の時成り立たないとハナシにならない」というスタートをしたとします。
そうすると、必要条件は
|r-pq|=1または|r-pq|=2となります。
ところが、これで十分性を確かめようとするとα=0、β=3の時y=3/2となり、整数になりません。
つまり、上に書いた
|r-pq|=1または|r-pq|=2
という条件は、必要条件にはなっていますが、十分性を満たしていない（絞り切れていない）条件であることがわかります。

通常はこのように「最低限必要な条件として必要条件を設定」→「反例がないか確かめつつ、反例があるならそれをつぶせるような条件をさらに追加して、最終的に十分性を満たすようにする」
というのが、（私の中での）自然な思考の流れです。
今回はたまたま「最低限必要な条件だと思っていたものが、そのまま十分性を満たしてくれた」という感じです。

よって、「解答としては間違っていないが、解説がないとまずいでしょ（少なくとも参考書であれば、上に書いたようなフォローがあってしかるべきでしょ）」な解答だと思います。

参考になれば幸いです。

お礼

迅速なご回答本当にありがとうございます

丁寧な説明のおかげもあり大分分かってきたようにも思えるのですが
最後に少し確認したく思います
今説明の都合上集合を次のように定義します
A:|r-pq|=1
B:任意の整数α、βについてx、yが整数
C:α=1、β=0についてx、yが整数

最終的に示したいのはA⇒B、B⇒AすなわちA⇔Bということです
まず解答の手順で最初に証明しているのはC⇒Aですよね？
そして次に証明しているのはA⇒Bだと思います
ここでA⇒Bである以上A⇒Cも成り立ちます
また明らかにC⇒Bは成り立ちます
しかしB⇒Cは必ずしも成り立ちません(∵例えばα=0、β=0の時x、yが整数となる)
以上を鑑みるに真であるのはA⇒B、A⇔C、C⇒Bではないでしょうか？
また偽であるのはB⇒Cだと思います
するとB⇒Aはまだ証明できてないのではないでしょうか？
これではA⇔Bとは成り得ません

以上の点の矛盾点をABCを使って説明していただけないでしょうか
これがわかれば多分完全にしっくりいくと思うのです
度重なる質問で申し訳ありませんが、本当に困っているのでよろしくお願い致します

回答No.2

Kules

ざっくりした説明になってしまいますが、
（整数）/（整数）が整数になるためには、
分母の整数が分子の整数の約数になっていなければなりません。
（逆に約数になっていれば、約分をすることにより整数になれます）
ここに出てきている文字は全て整数なので、分子・分母が整数にならないことはあり得ません。
よって、分子の整数がいくらであるかによって分母の許される値が決まります。
分子が0の場合、分母は0以外であれば何でも構いません（必ず0になるので、整数です）
分子が例えば２の場合、分母は±１、±２が許されます（２の約数は１と２なので）
分子が例えば６の場合、分母は±１、±２、±３、±６が許されます（上と同じく）
ここで、整数全体の公約数を考えてやります。（というのは、分母は分子に入りうる全ての整数の約数でなければなりませんから）
すると、整数全体の公約数が１であり、それしかないことは容易にわかると思います。

ここまで考えた上で「分子が整数なので、x,yが整数になるには分母が整数でありかつ分子の約数であることが必要。整数全体の公約数は１であるので、分子の値にかかわらずｘ、ｙが整数になるための条件は分母＝±１である」とか書くかなあ…私なら。（別にこれが正解だと言っているわけではありませんし、どこかに穴があるかも知れませんが、私が受けているテストでこれが出たらこのように書くかなあと思います。）

上の議論で言えば、分子＝１になることは分母の条件が一番厳しくなる時になります。（繰り返しますが、分母は分子の約数になっていればよいです。１は約数を１つしか持っていません）
ということから分子が１になる時を考えているのだと思います。

参考になれば幸いです。

お礼

早速のご回答ありがとうございます

確かにご指摘の通りの考え方であれば自分も納得できます
その解答を自分が思いつけばこの問題は解けるのですが、
分からないのは自分の示した問題の解答があれで本当に同値であるのを
示せているか否かということです
解答書に載っている以上正しいのでしょうが、自分の考えでは
任意の、と書かれている条件を勝手に縮めてα=0, β=1だけを考察して
本当にいいのだろうか、と疑問に思いました

この度は懇切丁寧なご回答感謝いたします
違う観点からの解答というのは非常に参考になるので助かりました

回答No.1

koko_u_u

>最初に任意の整数α、βに対しα=0、β=1を代表させていますが、
>例えばα=1、β=2とかα=3、β=-2とかの場合を考慮する必要はないのでしょうか？

別にそのような場合を考えてもよいが、結局 r, p, q に対して「追加の」条件は得られない、ということです。

模範回答では α=0, β=1 の場合が天啓の如く閃いていますが、
通常そのようなことはなく、様々なα、βについて考察した上で、r, p, q の条件を求めるのが普通です。

お礼

早速のご回答ありがとうございます

＞別にそのような場合を考えてもよいが、結局 r, p, q に対して「追加の」条件は得られない、ということです。

それは(α,β)=(0,1)以外のどんな組をx,yに代入しても結局は同じ|r-pq|=1という必要条件が生じるということでしょうか
この場合十分条件が明らかなのは言うまでもないですが、必要条件では「任意の」α、βについてという条件があるにもかかわらず、α=0, β=1以外の組の考察をする必要がないというのがいまいち腑に落ちません
任意の云々というのは条件であるから任意に含まれるα=0, β=1だけについて考えれば問題ないという風に捉えてよろしいでしょうか？