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整数問題

1/x+1/y=1/n ( 1=<x=<y   x,yは正の整数)   この方程式の解が2011個になるとき、n (n>0 整数)を求めよ。 nが具体的な数の場合はよくあると思い,考えてみたのですが、難しいと思いました。 2011個をどう考えたらいいのか分からず、挫折です。 与式は (x-n)(y-n)=n^2, 2011は奇数、1=<x=<2n=<y ここまでは、わかることの 羅列です。右辺のn^2の様子がわからないことには、どうしようもない。ここからどう 処理していいのか、アドバイスお願いします。

質問者が選んだベストアンサー

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  • nag0720
  • ベストアンサー率58% (1093/1860)
回答No.3

>(1)n<x=<2n を満たすn^2の約数はどうなるのか >(2)(2n1+1)(2n2+1)(2n3+1)・・・・(2nk+1)が、どうなっていればいいのか n^2=XY 、0<X≦n≦Y(X,Yは整数) n^2の約数の個数をNとすると、この条件を満たすXの個数は、(N+1)/2個です。 X=x-n、Y=y-n とすれば、 n^2=XY=(x-n)(y-n) これを満たすxの個数(=Xの個数)は、2011個なので、 (N+1)/2=2011 つまり、 N=(2n1+1)(2n2+1)(2n3+1)・・・・(2nk+1)=4021 4021は素数だから、 k=1、n1=2010 よって答えは、 n=p^2010 (pは素数) ちなみに、(x,y)の組は、 (p^0+p^2010, p^4020+p^2010), (p^1+p^2010, p^4019+p^2010), (p^2+p^2010, p^4018+p^2010), ・・・・・, (p^2010+p^2010, p^2010+p^2010), の2011個となります。

112233445
質問者

お礼

回答ありがとうございます しっかりと解答をみたいと思います。 理解できそうな感じです。

その他の回答 (4)

  • alice_44
  • ベストアンサー率44% (2109/4759)
回答No.5

あれ、失敗。 x = y = 2n ですね。 p は任意の素数で ok. 失礼しました。

  • alice_44
  • ベストアンサー率44% (2109/4759)
回答No.4

A No.2 には惜しいミスがあり、 A No.3 の n = p^2010 が正解ですね。 ただし、p は p = 2 で良いようです。 2011 が奇数であるために x = y = n/2 が解でなければならず、 n は偶数と判るからです。

  • FT56F001
  • ベストアンサー率59% (355/599)
回答No.2

n<x≦2n≦yの範囲で数値実験してみると, n=13860のとき338個(n=2^2*3^2*5*7*11) n=18480のとき365個 n=27720のとき473個 n=55440のとき608個 n=110880のとき743個(n=2^5*3^2*5*7*11) n=180180のとき1013個 n=240240のとき1094個 n=360360のとき1418個 n=720720のとき1823個(n=2^4**3^2*5*7*11*13) n=1081080のとき1985個(n=2^3*3^3*5*7*11*13) n=1441440のとき2228個(n=2^5*3^2*5*7*11*13) となって,#1さんのおっしゃる通りです。 あいにく,n^2の約数の個数=4021 は素数なので,n=2^4021が条件を満たす最小の数かな。

  • nag0720
  • ベストアンサー率58% (1093/1860)
回答No.1

(x-n)(y-n)=n^2 nを素因数分解して、 n = p1^n1 * p2^n2 * p3^n3 * ・・・・ * pk^nk となったとしたら、n^2の約数の個数は、 (2n1+1)(2n2+1)(2n3+1)・・・・(2nk+1) n^2は平方数で、(x-n)≦(y-n)だから、ちょうど真ん中の n×n を除いた半分が2010個ということです。 あとは、 (2n1+1)(2n2+1)(2n3+1)・・・・(2nk+1) がどういう数なのかを調べれば答えがでてくるでしょう。

112233445
質問者

お礼

回答ありがとうございます n^2の約数の個数は、(2n1+1)(2n2+1)(2n3+1)・・・・(2nk+1) ここまでは、わかるのですか、次との関連で、よく分かりませんでした。 (1)n<x=<2n を満たすn^2の約数はどうなるのか (2)(2n1+1)(2n2+1)(2n3+1)・・・・(2nk+1)が、どうなっていればいいのか もし、よろしかったら教えてもらえるとうれしいです。

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