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数学に関して

以下の問題を教えてください。 nは2以上の自然数であり、a、bは実数である。2つの方程式 x^3-ax-2nb=0,x^3-bx-2na=0 は，それぞれ共通である1つの実数解と共通でない2つの虚数解とをもつ。 (1)共通は実数解をnで表せ。 (2)aは何個の整数値をとりうるか、その個数をnで表せ。 お願いします。

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  • spring135
  • ベストアンサー率44% (1487/3332)
回答No.1

(1) x^3-ax-2nb=0 (1) x^3-bx-2na=0　　(2) が共通根を持つとき、共通根xは２式を満たすので２式を引き算して整理すると (b-a)(x-2n)=0 b=aではこの問題は成立しないので b≠a x=2n　　(3) (2) (3)を(1)に代入して a+b=4n^2 (4) (4)は(3)を(2)に代入したときも成り立つ。 (4)より b=4n^2-a　　(5) これを(1)に代入して x^3-ax-2n(4n^2-a)=0　(6) これは実根2nと２虚根を持つ。 (6)を因数分解すると (x-2n)(x^2+2nx+4n^2-a)=0 従って x^2+2nx+4n^2-a＝0は虚根を持つので D=n^2-(4n^2-a)<0 a<3n^2 (7) (4)より a=4n^2-b (8) これを(2)へ代入して x^3-bx-2n(4n^2-b)=0 (9) これは実根2nと２虚根を持つ。 (9)を因数分解すると (x-2n)(x^2+2nx+4n^2-b)=0 従って x^2+2nx+4n^2-b＝0は虚根を持つので D=n^2-(4n^2-b)<0 b<3n^2 (10) (4)を用いると b=4n^2-a<3n^2 これより a>n^2 (11) (7)、(11)より n^2<a<3n^2 aが整数値をとるとすれば n^2+1≦a≦3n^2-1 個数は 3n^2-1-(n^2+1)=2n^2-2

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