数学のわからない問題おしえてください

質問

数学でわからない問題があります
方程式 ax^3-x^2-x+1=0の実数解の個数が1個であるとき、定数aのとりうる値の範囲を求めよ という問題です

よろしくお願いします

回答No.13

Tacosan

#2 とは逆に, まず間違いなく「三次方程式の判別式は、高校教程には入ってない」ことを前提に #1 を書いていたり (苦笑).

いちおう素直に書くと
f(x) = ax^3-x^2-x+1
とおいて
f'(x) = 0 の 2解を α, β
とすると
・α, β が非実数
・f(α) f(β) > 0
のどちらかの条件を満たせばよく, 前者は簡単. 後者は努力と根性で a に関する不等式に落ちる.

まあ前者の条件は後者に含まれるから本当は不要だし, やってることは結局判別式だったりするわけだが.

回答No.12

B-juggler

Ｎｏ．２　ゴメン。

そうか、三次方程式の判別式って　高校ではやらないね・・・。

そもそもσ(・・*)余りやったこともないかも？？

　＃一応代数なもので＞＜

高校の微積で、４パターンでいけないかな？

ａ＞０　で　極大極小ともに　＜０　パターンＡ

ａ＞０　で　極大極小ともに　＞０　パターンＢ

以下略、素直にいくとこれなのかな？

自身も何もなくなって来たよ＞＜

(=^. .^=)　ｍ（＿　＿）ｍ　(=^. .^=)

回答No.11

178-tall

途中の脱落を補足。

　(3c^2 + 2c - 5) > 0
　　　↓
　3(c-1)(c + 5/3) > 0

回答No.10

178-tall

ANo.4 の続き。

　a = c(c^2 + c - 1)　　　… (*)
であるが、c > 1 あるいは c < -5/3 にて、a は単調増大 あるいは 単調減小。

結局、
　c > 1 → a > 1
あるいは
　c < -5/3 → a < -5/27
となったが？

回答No.9

Tacosan

えぇと, 「これが任意のαに対して成立するから」はおかしい＞#6.

α, β, γ は方程式 ax^3-x^2-x+1=0 の解だから α は (β, γ もだけど) a に依存する. つまり α と m=1/a との間にも依存関係が存在し, 3α＾2－2mα-m＾2-4m＞0 はそのような α に対して成り立てば十分なはず.

回答No.8

mister_moonlight

今、見たら書き込みミスをしてる。途中は良いんだが。
相変わらず、進歩がないね。。。。。ｗ

簡単のために、-1/a＝mとすると　→　1/a＝m
後は　-1/a＝mを使って　元に戻すだけ。→　後は　1/a＝mを使って　元に戻すだけ。

回答No.7

alice_44

三次方程式の判別式は、高校教程には入ってないのでは？
x=0 が解でないことを、代入して確認の上、
x=1/z で置換してしまえば、原式より扱い易い式になる
…て、既に A No.5 に書かれてたか。

回答No.6

mister_moonlight

うっかりしてたが、判別式で解決する高校数学。

a≠0は明らかだから　αを実数解として、βとγを虚数解とする。
解と係数から　α＋β＋γ＝1/a。αβ＋βγ＋γα＝-1/a。αβγ＝-1/a。
簡単のために、-1/a＝mとすると、α＋β＋γ＝m。αβ＋βγ＋γα＝-m。αβγ＝-m。
β＋γ＝m-αから　αβ＋βγ＋γα＝-mと連立すると　βγ＝α＾2－mα－m。
よって、βとγは　2次方程式：t＾2－(m-α)t＋(α＾2－mα－m)＝0の2つの虚数解。
従って　判別式＜0.
整理すると、3α＾2－2mα-m＾2-4m＞0.これが任意のαに対して成立するから　α＾2の係数＞0より　判別式＜0.
つまり、-3＜m＜0。後は　-1/a＝mを使って　元に戻すだけ。

回答No.5

Tacosan

ひねって解くなら y=x^3-x^2-x のグラフを描いて y=-a との交点を考えても面白いかも.

回答No.4

178-tall

>方程式 ax^3-x^2-x+1=0の実数解の個数が1個であるとき、定数aのとりうる値の範囲を求めよ…

実数解を -r として、
　ax^3-x^2-x+1 = (x+r)(ax^2 + bx + c)
と因数分解。

両辺の係数を等置。
　(x^2)　-1 = a*r + b
　(x^2)　-1 = b*r + c
　(x^2)　 1 = c*r
これらから r を消去した結果。
　a = c^3 + c^2 - c　　　… (*)
　b^2 = (c^2)(c+1)^2　　… (**)

(ax^2 + bx + c) が複素零点をもつ条件、
　D = b^2 - 4ac < 0
へ (*) (**) を代入。
　(3c^2 + 2c - 5) > 0
　　　↓
これから c の「とりうる値の範囲を求め」れば、(*) で「aのとりうる値の範囲」も判りそうだが、時間切れ。

(とりあえずは、「誤りがあれば正せ」か？　…)