高2数学

質問

現在高校2年生です。
数学の問題を解いていて、つまずいてしまったので、よろしければ教えてやっていただけないでしょうか？よろしくお願いします。

＜問題＞
aを実数とし、方程式（x^2＋ax＋2）（X^2-AX＋1)
＝0・・・・・・・※
を考える。
方程式※が実数解のみをもつようなaの値の範囲を求めよ。

問題を解いているうちにaとxが混同してしまうのですが、どのように考えれば良いのでしょうか。

回答No.5

zyunyu

方程式が実数解を持つための条件とは、端的に方程式をY＝f(x)の関数としたときに、X軸との交点もしくは接点があることである。
接点，交点なければ、普通には因数分解できないし、判別式が解の公式のルートの中身が正か負かで判断していることからも分かる。
また、方程式の左のカッコと右のカッコはどちらかが少なくとも0と同じでなければなりたたない。
ゆえに、x^2+ax+2=0 or X^2-Ax+1=0
D>0 or D=0
もしくは、解と係数の関係 α,βを用いて解けばよい。
aとxが混同してしまうのは、結局、何を目的に式の条件を導いているかとかコンセプトが理解できていないために起こる。
だから、まずは何のためにこのような条件が必要か、他に有効な条件はないかなど多面的に問題に対してアプローチする必要がある。
そうすれば、なぜ、解き方としてこの解き方がスタンダードなのかなどが理解できるようになる。要するに、アルゴリズムであり、ただ、学力をつけるためには、なぜそれがアルゴリズムなのか、どうしてこのような解き方としてまとめてあるのかを理解するように意識して勉強しないといつまでたっても数学はできるようにはならない。
ただ、ボクも解き方忘れている部分があるので他の人のを参考にするといいと思うよ。

お礼

回答して下さってありがとうございました。
aとxが混同してしまう理由について詳しく書いて下さっていたので、とてもためになりました。
高２になって数学が苦手になりつつあるのですが、頑張ってみようと思います。
書いていだだいた回答を見て、もう問題を一度じっくり考えてみます。
本当にありがとうございました。

回答No.4

nettiw

x^2+ax+2＝0
a^2-8≧0
a^2-(2√2)^2≧0
(a-2√2)(a-2√2)≧0
a≦-2√2、2√2≦a

x^2-ax+1＝0
a^2-4≧0
a≦-2、2≦a

<------(-2√2)　　　(-2)　　　　(2)　　　　(2√2)----->

共通部分をとって、
a≦-2√2、2√2≦a ...

お礼

回答してくださってありがとうございました。
解く流れが分かりやすかったのでとても参考になりました。
ありがとうございました。

回答No.3

info22

#1です。
#2さんが指摘のように、重解も実数解ですので
共に判別式D≧0(等号が入る)となりますから
> a^2-8>0 かつ a^2-4>0
> a>2√2 or a<-2√2
を
a^2-8≧0 かつ a^2-4≧0
a≧2√2 or a≦-2√2
と訂正します。

お礼

回答してくださってありがとうございました。
訂正までして下さってより深く理解することが出来ました。
本当にありがとうございます。

回答No.2

take_5

えっ、重解でも良いんじゃないの？
“相異なる実数解”とは書いてない。

回答No.1

info22

>（x^2＋ax＋2）（X^2-AX＋1)=0
（x^2＋ax＋2）（x^2-ax＋1)=0
の間違いでは、？

そうなら、４次方程式ですから、４つの解が全て実数となる条件を
求めればよい。
それには
（x^2＋ax＋2）=0
（x^2-ax＋1)=0
の両方とも２実根を持つことが必要十分条件であるので
両方の判別式とも正であること。
つまり、
a^2-8>0 かつ a^2-4>0
であれば必要十分条件となる。
これを解けば　a>2√2 or a<-2√2