数学の問題です。

質問

数学の問題です。わからないので教えて下さい。

方程式｜x^2－4x|＋2x－p＝0が異なる実数解をもつときの定数ｐの値の範囲を求めよ
の問題なのですが、どうすればいいかわかりません。
合成関数 f(x)=(x-a)/(x+1) f(f(f(x))) =x定数の値を求めよ

どなたか詳しく解いてくれなでしょうか？
途中式も欲しいです
お願いします。

回答No.4

mizutaki5654 · ベストアンサー

>合成関数 f(x)=(x-a)/(x+1) f(f(f(x))) =x定数の値を求めよ
・・・これは定数aを求めよということでいいでしょうか？

f(x)=(x-a)/(x+1) f(f(f(x))) =x
最左辺と最右辺に注目するとf(x)=xだから
真ん中の式は
(x-a)/(x+1) f(f(f(x)))=(x-a)/(x+1) f(f(x))
=(x-a)/(x+1) f(x)
=(x-a)/(x+1) x
よって
x(x-a)/(x+1)=x
x(x-a)=x(x+1)
x^2-ax=x^2+x
(1+a)x=0
この式が全てのxについて成り立つためには
1+a=0
よってa=-1

与式に代入すると確かに
f(x)=(x+1)/(x+1) f(f(f(x)))=f(f(f(x)))=f(f(x))=f(x)=x

回答No.8

maitta26

No.6 の訂正です。

Qより、a=3

<合成関数 f(x)=(x-a)/(x+1) f(f(f(x))) =x定数の値を求めよ>が
f(x)=(x-a)/(x+1)のとき、合成関数f(f(f(x)))=x となる定数aの値を求めよ。ならば…の回答です。

回答No.7

maitta26

No.６勘違いしていました。
定数aを求めるのでしたね。
xを求めてしまいました。

回答No.6

maitta26

逆関数も利用できますが、直接やってみます。
xは、実数としました。

f(f(x))=[{(x-a)/(x+1)}-a]/[{(x-a)/(x+1)}+1]

={(1-a)x-2a}/{2x-a+1} …Pとする

f(f(f(x)))=f(P)
=(P-a)/(P+1)

=[{(1-a)x-2a}/{2x-a+1}-a]/[{(1-a)x-2a}/{2x-a+1}+1]

={(1-3a)x+a^2-3a}/{(3-a)x-3a+1}

f(f(f(x)))=x より

{(1-3a)x+a^2-3a}/{(3-a)x-3a+1}=x

{(1-3a)x+a^2-3a}={(3-a)x-3a+1}x

(3-a)x^2=(a^2-3a)…Qとする

(1) a≠3 のとき
　 x^2=(a^2-3a)/(3-a)=-a
　　　(ア) a≦0 のとき　x=√-a
　　　　 (イ) a>0 のとき 適する実数xはない

(2) a=3 のとき
　　Qより　0・x^2=0 　よって、x はすべての実数

回答No.5

mizutaki5654

No.2間違いです；
すみません
xの範囲を無視していました；

回答No.3

alice_44

「自助努力」という言葉を知っていますか？
詳しい答案を人からもらってちゃ、
自分で解けるようにはなりませんよ。

1.
｜x(x-4)｜+2x=p と変形して、
左辺の関数のグラフを考えてみましょう。
x=0 と x=4 で交わる２本の放物線を
交点でつないだ W 字形のグラフであること。
交点が極小点であり、x=0 側が最小点であること
などが見えてきましたか？
その程度の概形が解れば ok.
軸や頂点などの詳細は不要です。
グラフの概形が解れば、答えが p＞0 であることも
図から判るでしょう。

2.
何の知識も工夫も要りません。地道に計算して、
f(f(x)) を x, a を含んだ式で書き下しましょう。
整理すると、x の一次式÷一次式 という形の
分数式になるので、
それが右辺の関数 x と一致するような
係数を探せばよいです。

回答No.2

mizutaki5654

(i)x^2-4x=0のとき
x(x-4x)=0よりx=0,4
これは異なる実数解
x=0のとき　与式は-p=0　∴p=0
x=4のとき　与式は8-p=0 ∴p=8

(ii)x^2-4x>0のとき
与式はx^2-2x-p=0
判別式はD=(-1)^2-1(-p)=1+p
D>0のとき異なる実数解をもつから
1+p>0
∴-1<p

(iii)x^2-4x<0のとき
与式はx^2-6x+p=0
判別式はD=(-3)^2-1*p=9-p
D>01のとき異なる実数解をもつから
9-p>0
∴p<9

(i)～(iii)より
-1<p<9

回答No.1

gohtraw

絶対値記号の中身は
　ｘ＾２－４ｘ＝ｘ（ｘ－４）
ですから、０＜ｘ＜４のとき絶対値記号の中身は負、ｘ＜＝０、４＜＝ｘのときゼロ以上となります。したがって元の方程式は
ｘ＾２－２ｘ－ｐ＝０　（ｘ＜＝０、４＜＝ｘ）
ーｘ＾２＋６ｘ－ｐ＝０　（０＜ｘ＜４）
ということになります。この関数のグラフは
ｘ＜＝０、４＜＝ｘの範囲においては下に凸の放物線、
０＜ｘ＜４の範囲においては上に凸の放物線となり、二つの放物線の交点は（０、－ｐ）および（４、８－ｐ）となります。与えられた方程式が異なる実数解をもつということは、上記の関数のグラフがｘ軸と二点以上で交わるということです。－ｐ＜８－ｐなので、上記の二つの交点のうち（０、－ｐ）がｘ軸よりも下にあればグラフはｘ軸と二点以上で交わります。よってーｐ＜０よりｐ＞０となります。