数学

質問

a、bを実数とする。xの方程式x^2+ax+4=0が解-1+biをもつとき、a、bの値を求めよ。ただし、iは虚数単位とする。

解法がわからないです…。回答、よろしくお願いします。

回答No.3

ereserve67

（☆）実係数多項式方程式の場合，虚数解があればそれと共役な数も解

になっています．

b≠0のとき，-1+biが解なら-1-biも解です．

（★）解と係数の関係

より

和：(-1+bi)+(-1-bi)=-2=-a
積：(-1+bi)(-1-bi)=1+b^2=4

a=2
b=±√3≠0

b=0のときx=-1を解に持つので代入すると1-a+4=0,a=5

以上より

(a,b)=(2,±√3),(5,0)（答）

☆と★を使わないなら直接代入することです．

(-1+bi)^2+a(-1+bi)+4=0
1-2bi-b^2-a+abi+4=0
(5-b^2-a)+(-2b+ab)i=0

a,bは実数だから

(1)5-b^2-a=0
(2)b(-2+a)=0

(2)からb=0またはa=2．b=0とすると(1)からa=5．a=2のとき，(1)からb^2=3,b=±√3．

こうして上述の答と同一になります．

回答No.2

asuncion

x = -1 + biはx^2 + ax + 4 = 0を満たす。
(-1 + bi)^2 + a(-1 + bi) + 4 = 0
1 - 2bi + b^2・i^2 - a + abi + 4 = 0
(-a - b^2 + 5) + b(a - 2)i = 0
-a - b^2 + 5 = 0 …… (1)
b(a - 2) = 0 …… (2)
(1)よりa = -b^2 + 5を(2)に代入する。
b(-b^2 + 3) = 0
b = 0または-b^2 + 3 = 0
b = 0, ±√3
b = 0のとき、(1)よりa = 5
b = ±√3のとき、(1)よりa = 2
∴(a, b) = (5, 0), (2, √3), (2, -√3)

回答No.1

noname#231223

解の公式を使う。

コンピュータ上での「２乗」の表示制限から、ｘの２乗を「ｘ＾２」と記す。

ｘ＝｛－ａ±√（ａ＾２－４×４）｝／２＝－１＋ｂｉ

実数部が　－ａ／２　＝　－１　であることから、　ａ＝２

虚数部は、　√（４－４×４）　＝　√（－１２）　＝　（√１２）×ｉ

ｂ＝√１２

さすがに√１２をそのまま書くはずがないのはおわかりと思うので、省略。