数学I 二次関数（1）

質問

基本的な問題は解けるのですが以下の問題がまったく解らず、回答もないので困っています。
教えていただけないでしょうか？よろしくお願い致します。

１．a,bを実数として２次関数　y=2x^2-2ax+b　の最小値を　-a^2/2+3a-4　とする。
（1）bをaで表す。

（2）この関数がｘ軸と交点を持たないaの範囲を求める。

２．aを実数として、２つの２次方程式を　x^2+2ax+3a-2=0・・・I　　x^2-4ax+a+5=0・・・II　とする。
（1）Iが重解を持つaの値を求める。

（2）IIが実数解を持たないaの範囲を求める。

（3）IもIIも実数解を持たないaの範囲を求める。

３．aを実数として、　f(x)=(x+a)^2+(1/x+a)^2+a　とする。
（1）f(x)を　t=x+1/x　の式で表せ。

（2）（1）のtの式をg（ｔ）として、ｇ（t）=0が
実数の解を持つaの範囲を求める。

回答No.1

ereserve67 · ベストアンサー

１．

(1)y=2(x^2-ax+a^2/4)-a^2/2+b=2(x-a/2)^2+b-a^2/2の最小値について

b-a^2/2=-a^2/2+3a-4

b=3a-4（答）

(2)(1)よりy=2x^2-2ax+3a-4について

D/4=(-a)^2-2(3a-4)=a^2-6a+8=(a-2)(a-4)<0

2<a<4（答）

※交点を共有点と解釈します．

２．

(1)D_1/4=a^2-(3a-2)=a^2-3a+2=(a-1)(a-2)=0よりa=1,2（答）

(2)D_2/4=(-2a)^2-(a+5)=4a^2-a-5=(a+1)(4a-5)<0より

-1<a<5/4（答）

(3)D_1<0とすると1<a<2．これと(2)の共通部分をとって

1<a<5/4（答）

３．

(1)

f(x)=x^2+2ax+a^2+1/x^2+2a/x+a^2+a

=x^2+1/x^2+2a(x+1/x)+a^2+a

=(x+1/x)^2-2x(1/x)+2a(x+1/x)+a^2+a

=t^2+2at+a^2+a-2（答）

(2)x>0のときt=x+1/x≧2√{x・(1/x)}=2，x<0のとき-x>0だから-t=(-x)+1/(-x)≧2であるから，

t≦-2,2≦t

g(t)=(t+a)^2+a-2

グラフを描いて下さい．

(i)-a≦-2のときg(-a)=a-2≦0すなわちa=2．
(ii)-2<a<2のときg(-2)≦0またはg(2)≦0すなわち

a^2-3a+2=(a-1)(a-2)≦0またはa^2+5a+2≦0(成立しない)

1≦a≦2

つまり1≦a<2．

(iii)2≦aのときg(-a)=a-2≦0すなわちa=2．

(i)(ii)(iii)より1≦a≦2．

※(2)x≠0と解釈します．

お礼

お礼が遅くなってしまい大変申し訳ありません。
ご丁寧な回答、本当にありがとうございます。

これで自分で解けるまでしっかり勉強します。

ありがとうございました。