数学

質問

方程式x^2-2x+1+m(x^2+3x+5)=0が重解をもつとき、mの値を定めよ。また、その重解も求めよ。

xの2次関数f(x)=-x^2+ax+bにおいてx=1のとき、f(x)=3で、f(x)の最大値は4である。a,bの値を求めよ。

の2問が解けなくて困っています。

答えは1問目が
m=0のとき、重解x=1
m=-36/11のとき、重解x=-13/5

2問目が
(a,b)=(0,4),(4,0)です。
どなたか解説と共に解答お願いします。

回答No.1

asuncion · ベストアンサー

x^2－2x+1+m(x^2+3x+5)=0 の左辺を整理する。
(m+1)x^2+(3m－2)x+5m+1=0
この方程式が重解を持つので、判別式=0
(3m－2)^2－4(m+1)(5m+1)=0
9m^2－12m+4－4(5m^2+6m+1)=0
11m^2+36m=0
m(11m+36)=0
m=0, －36/11
m=0のとき、もとの方程式はx^2－2x+1=0
(x－1)^2=0より、x=1
m=－36/11のとき、もとの方程式はx^2－2x+1－36/11(x^2+3x+5)=0
11(x^2－2x+1)－36(x^2+3x+5)=0
25x^2+130x+169=0
x={－65±√(65^2－25×169)}/25
=－13/5

f(x)=－x^2+ax+bにx=1を代入する。
f(1)=－1+a+b=3より、a+b=4 …… (1)
f(x)を平方完成する。
f(x)=－x^2+ax+b
=－(x^2－ax)+b
=－{x^2－ax+(a/2)^2－(a/2)^2}+b
=－(x－a/2)^2+(a/2)^2+b
x=a/2のとき、最大値(a/2)^2+b=4 …… (2)
(2)－(1)より、(a/2)^2－a=0
a^2－4a=0
a(a－4)=0
a=0, 4
(1)に代入してb=4, 0
∴(a, b)=(0, 4), (4, 0)

じっくり考えれば、必ず解けます。

お礼

助かりました。
ありがとうございました。

回答No.2

asuncion

25x^2+130x+169=0
これが重解を持つことをヒントにして、
(5x+13)^2=0
と因数分解できますね。

お礼

参考にします。
ありがとうございました。