経済学の数学でわからない問題

質問

経済学部の基礎的な数学を学ぶというような授業で配られたプリントで、いくら考えてもわからないところがあるので質問させていただきます。
そのプリントには答えは載っているのですが、計算方法や過程が載っていないのでその部分の解説をお願いします。

Q.)関数y=-x<3>+xにx=1で接する接線を考える。この接線をy=ax+bと表した場合、bの値として適当なものを選びなさい。(<>内は指数です)
A.)b=2
2次関数における接線の求め方だと、重解条件を用いてとくことができるのですが、この問題はどのように解けばいいかわかりません。

解説お願いしますm(_ _)m

回答No.4

stomachman

（経済史や経済学史ではなくて）経済や経済学を勉強するのなら、定性的な議論や主義主張だけで話ができる大昔の経済学だけを学ぶ、というんじゃ意味がないでしょう。ことに計量経済学、行動経済学、金融工学、経済物理学等において、微積分と確率・統計は絶対必須の基礎学力です。（入試科目にそれらが入ってないのだとしたら、大学も酷いよなあ。）
　だから、高校の「理系」の数学を一通り身に付けるべきだ、という皆さんの意見に賛成。ただし、まずは「式を見て意味が分かる」「文章を見て式が立てられる」（両者は表裏一体）ということが最も重要なのであり、キホンを身につければいいのであって、計算問題をいっぱいやらねばならん、ということはないでしょ。

　ところでこの問題に限れば、微分法を知らなくても解けます。
[1]まず、曲線
y=-x^3+x（「^3」は3乗のこと）
と直線
y=ax+b
の交点を考えます。それには二つの式を連立方程式だと思えば良い。
　連立方程式からyを消去すると、
x^3-x+ax+b=0
という3次方程式が得られます。これが交点のx座標を表す方程式です。
[2] 3次方程式だから解が3個あります。言い換えれば、3個の解をp,q,rとすると、左辺の3次多項式は
x^3-x+ax+b=(x-p)(x-q)(x-r)
と因数分解出来る。というのは、xがpかqかrのどれかであれば、
(x-p)(x-q)(x-r)=0
になるからです。（ただし、p,q,rは複素数かも知れません。）
[3] さて問題の条件によれば、この方程式は重解を持ち、それはx=1だと分かっている。ってことは、残りひとつの解をx=pとすると、上記[1]の3次方程式の左辺は
((x-1)^2)(x-p)
と因数分解できることになります。
[4] これを展開したものはpを含む3次多項式になる訳です（ご自分でどうぞ）が、それは元をただせば
x^3-x+ax+b
だったのでした。だからこれら二つの3次多項式の係数を比べてみればa,b,pが幾らなのかが分かります。

回答No.3

aidlii

違っていたらごめんなさい。
　恐らく、受験に数学IIを必要としない経済学部に入学された方と推察します。と申しますのも、他の方が答えていらっしゃるように、これは高校で学ぶ数学IIの基本問題なのです。詳しくは、高校の数学IIの微分の問題です。
　おせっかいは承知で少しだけ。
　対策としては高校の数学の教科書を読む手だろうと思います。お持ちでなければ、高校の時の友人か、大学での友人から、高校の数学IIの教科書を借りるか貰うかして、読んでいくのが手っ取り早いのではないかと思います。無ければ本文付きの教科書ガイドを買う手もありでしょうか。参考書は、受験対策用に出来てますので、読むのは面倒ではないかと思います。
　ただし、今は夏休みですから、時間が取れるということなら、ちゃんと読まれることをお勧めします。ちゃんとというのは、必要があるなら、数学Iまで戻るべきであるということです。と、申しますのも経済学部の場合、大学によっては、相当高度な数学をやらされると聞いたことがあるからです。高校では理科系しかやらない数学IIIの内容をやらされる経済学部もあるとか。
　ご質問の内容からすると、失礼ながら、数学IIの知識はあまりないと、推察せざるを得ません。重解条件を引き合いに出されていらっしゃるのですから、基礎力はあると思います。微分は変化を追いかえる数学的手法です。数学IIIの微分を学ばないと、経済学には役に立たないのかも知れません。せっかくですので、数学IIまでなんて言わず、ちょっと時間を掛けて、数学IIIも垣間見られてはいかがですか。

回答No.2

htms42

＞いくら考えてもわからないところがある

どう考えたのですか。

「経済学の数学」ということですから大学生ですね。
高校で数学はどこまでやられたのですか。

高校で数学をやっていないのであればそこからやり直してください。
そこに戻らずに「いくら考えても分からない」と言っていても仕方がないでしょう。
「ない袖は振れない」という言葉があります。
振る袖がないのです。

回答No.1

m234023b

まず接点を(1,0)とする。←条件がx=1だけだからとりあえず曲線上で

関数f(x)=y=-x^3+xをxについて微分するとf'(x)=-3x^2+1.

接線の公式「y-f(a)=f'(a)(x-a)」に代入

y-0=f'(1)(x-1)
y=-2(x-1)
=-2x+2

というわけで，b=2になります

数学IIの超基本問題です。頑張ってください