数Iの２次関数の決定の問題を教えてください。

質問

数Iの２次関数の決定の問題を教えてください。

f(x)＝ax^-4ax+b (0≦x≦3)の最大値が３、最小値が１であるとき、定数a,bの値を求めなさい

解説　f(x)=ax^-4ax+b=a(x-2)^+b-4a
よって、y=f(x)のグラフの軸の方程式はx=2 頂点は（2,b-4a)

i）　a>0のとき
　　　　　　f(x)はx=0で最大値をとり、x=2で最小値をとる
　　　　　　よってf(0)=b=3
f(2)=b-4a=1より　　a=1/2（※二分の一）　b=3
ii） a<0のとき
　　　　　　f(x)はx=0で最小値をとり、x=2で最大値をとる
　　　　　　よってf(0)=b=1 f(2)=b-4a=3より　　a=1/2 b=1

解説のiのこの部分の求め方がわかりません。

　　　よってf(0)=b=3 f(2)=b-4a=1より
　　　↑↑　
　　これはどの式に何を代入したら求められるのでしょうか。

教えてください、よろしくお願いします。

回答No.2

LTCM1998 · ベストアンサー

お礼読みました。

>これは、最小値の０はx軸２から２メモリ離れている。最大値の３はx軸２から１メモリ離れている。ゆえに、０の時が最大値になる・・・・こんな解釈で良いのでしょうか。

そういうことです。
解答にあるa,bの値を入れて，グラフを描いてみると分かりやすいと思います。

数学的には，2次関数は放物線で軸に対して左右対称である，と言うのが根拠です。
イメージ的にはまさにそのとおりで，定義域に頂点が含まれるときは，頂点から左右にどっちがどれだけ離れているか？(上の例だと，左が2つで右が1つ)です。
もちろん，頂点が含まれているときの最大値・最小値のどちらか1個は，頂点だけ見ればOKです。
例：f(x)=-4x^2なら上に凸なので定義域-6≦x≦7のときの最大値 → 何も考えずに^^;最大値0

なお，定義域に頂点が入っていないときは，ある意味では一次関数(右上がりか右下がりか)ですね。(例：f(x)=x^2 定義域 2≦x≦4　→要するに4のとき最大)

1次の項が単純なもの(頂点が整数の座標になるような)で，グラフを描きながら最大値・最小値を求める練習をしてみてください。
関数の決定より前のところで，最大値・最小値が不安定かな？と思いますので。

お礼

>　なお，定義域に頂点が入っていないときは，ある意味では一次関数(右上がりか右下がりか)ですね。
>　(例：f(x)=x^2 定義域 2≦x≦4　→要するに4のとき最大)

>　1次の項が単純なもの(頂点が整数の座標になるような)でグラフを描きながら最大値・最小値を求める>　練習をしてみてください。
>　関数の決定より前のところで，最大値・最小値が不安定かな？と思いますので。

ありがとうございました。
弱点の勉強ポイントまで教えていただいて感謝します。
y=ax^のグラフの軸はｙ軸（x=0）頂点は（0,0）のような問題ですよね？
具体的に頭の中でイメージできなくて、意味が理解できないまま、まるごと暗記してましたが、アドバイスのように１次のグラフを描きながら最大値・最小値を求める練習をやってみます！

回答No.3

muturajcp

f(x)=ax^2-4ax+b=a(x-2)^2+b-4a
だから
f(0)=a*0^2-4a*0+b=b
f(2)=a(2-2)^2+b-4a=b-4a
f(3)=a(3-2)^2+b-4a=b-3a
i)a>0のとき
f(x)は,下に凸のグラフだから頂点x=2で最小値1をとり
左端x=0又は右端x=3のどちらかで最大値3をとるが
f(0)-f(3)=b-(b-3a)=3a>0→f(0)>f(3)だから
f(x)はx=0で最大値3をとる
よってf(0)=a*0^2-4a*0+b=b=3(最大値)
f(2)=a(2-2)^2+b-4a=b-4a=1(最小値)
よりa=1/2,b=3
ii)a<0のとき
f(x)は,上に凸のグラフだから頂点x=2で最大値3をとり
左端x=0又は右端x=3のどちらかで最小値1をとるが
f(0)-f(3)=b-(b-3a)=3a<0→f(0)<f(3)だから
f(x)はx=0で最小値1をとる
よってf(0)=a*0^2-4a*0+b=b=1(最小値)
f(2)=a(2-2)^2+b-4a=b-4a=3(最大値)
よりa=-1/2,b=1

お礼

丁寧な解説ありがとうございました！
もう一度、自力で解けるかやってみます。

回答No.1

LTCM1998

たぶんi)の不等号はa≧0だと思います。0を含まないとa=0を代入できないので。

で，質問のf(0)というのは，a≧0なら下に凸(上に開く)になるので，
x=0で最大
→「f(x)＝ax^-4ax+b (0≦x≦3)の最大値が３」(問題文)
→これにa=0を代入すると
0×x^2 － 4×0×x　＋b　＝b　(xの項は消えるのでbしか残らない)
→f(0)＝b
問題に書いてあるように「f(x)＝ax^-4ax+b (0≦x≦3)の最大値が３」なのでこれは
→f(0)＝3
ですね。

お礼

わかりやすい解説ありがとうございました。
すみません、もう一つ質問があるのですが、
教えていただいた解説にあるとおり（テキストにも載ってました）

＞ で，質問のf(0)というのは，a≧0なら下に凸(上に開く)になるので，
＞ x=0で最大　

この説明のx=0で最大ということですが、これは、x軸が２なので、(0≦x≦3)この領域のなかで
最小値の０の時が最大になるというのがいまいちよく分かりません。
これは、最小値の０はx軸２から２メモリ離れている。最大値の３はx軸２から１メモリ離れている。ゆえに、０の時が最大値になる・・・・こんな解釈で良いのでしょうか。