• ベストアンサー
  • 暇なときにでも

[行列] - 零因子の条件

2次正方行列A,B A= {a b} {c d} B= {w x} {y z} において、A,Bが零因子となるのは、 A,B≠O , aw+by = ax+bz = cw+dy = cx+dz = 0 のときですが、 ad=bc , wz=xy であることは、A,Bが零因子となることの必要十分条件なのでしょうか?

共感・応援の気持ちを伝えよう!

  • 回答数2
  • 閲覧数885
  • ありがとう数3

質問者が選んだベストアンサー

  • ベストアンサー
  • 回答No.2
  • tasu9
  • ベストアンサー率42% (9/21)

A,Bがどちらも逆行列をもたず、かつ積の1行1列が0になること これは ad=bc,wz=zy,aw+by=0 ですね。 これが必要十分条件になると思います。考えてみてください。

共感・感謝の気持ちを伝えよう!

質問者からのお礼

なるほどぉ。 ad=bc , wz=xy で、Aの行かBの列が異符号であれば良いのですね。 何となく分かった気がしますw ありがとうございます。

関連するQ&A

  • 2次正方行列の余因子?

    n次正方行列について、各成分の余因子が定義できますが、 この時、n≧3であってますよね? (2次正方行列について、余因子は定義されていなかったような…)

  • 逆行列を求める式変形がよく分かりません。

    2次正方行列の逆行列をもとめる途中式なんですが、次のように教科書に書いてあります。 A=(a,b; c,d)に対し、AX=Eを満たす行列X=(x,y; z,w)が存在すると仮定する。このとき AX=(ax+by,az+bw; cx+dy,cz+dw)、E=(1,0;0,1)であるから次の等式が成り立つ。 ax+by=1かつcx+dy=0かつaz+bw=0かつcz+dw=1 ここから次の関係式がえられる。 x(ad-bc)=d、y(ad-bc)=-c、z(ad-bc)=-b、w(ad-bc)=a これはどんな変形をして「次の関係式」を導いたのでしょうか?すみませんが教えてください。

  • 行列の対角化の問題です。

     見にくくて恐縮です。画像も参照してください。  2次正方行列 A の対角化が   ┌  ┐   │x 0│   │0 y│   └  ┘ のとき det(A) を求める。     ┌   ┐         1 ┌   ┐   P =│a  b│  P^(-1) = ────│ d -b│     │c  d│       ad - bc │-c a│     └   ┘,          └   ┘.        ┌  ┐   P^(-1)AP =│x 0│        │0 y│        └  ┘.   PP(^-1)AP = AP    ┌   ┐┌  ┐ ┌   ┐    =│a  b││x 0│=│ax by│    │c  d││0 y│ │cx dy│    └   ┘└  ┘ └   ┘.   A = APP^(-1)      1 ┌   ┐┌   ┐    = ────│ax by││ d -b│     ad - bc │cx dy││-c a│        └   ┘└   ┘     1  ┌         ┐    = ────│adx-bcy -abx+aby│     ad - bc │cdx-cdy -bcx+ady│        └         ┘  ここまで合ってるでしょうか?  合っていても   det(A) = 1/(ad-bc)( (adx-bcy)(-bcx+ady) - (-abx+aby)(cdx-cdy) ) を計算するのはメンドイです。行列式ならもっとうまい方法で求められるのでしょうか?

その他の回答 (1)

  • 回答No.1
  • tasu9
  • ベストアンサー率42% (9/21)

必要十分ではないですね。必要条件です。 A,Bが零因子である⇒ad=bc,wz=xy は真ですけど、この逆は偽ですね。 A=1 1   1 1   B=1 2   1 2 とすれば、AB=Oになりません。

共感・感謝の気持ちを伝えよう!

質問者からのお礼

回答ありがとうございます。 A,Bが零因子となる条件は何なのでしょうか? 最初からこれを質問すればよかったのかも知れませんが…。 A,B≠O , aw+by = ax+bz = cw+dy = cx+dz = 0 以外に必要十分条件となる条件はあるのでしょうか。

関連するQ&A

  • 行列について

    x:2次の正方行列 E:2次の単位行列 x^n=(x^2-4x+3E)p(x)+ax+bEをみたす定数a,bがある。 問 定数a,bの値をもとめよ。 問 A=(5 -4)のとき     (2 -1)  ←2次の正方行列のつもり 問1を用いてA^nを求めよ。 よろしくお願いします。

  • 3次正方行列の可逆である必要十分条件

    3次正方行列 A= 1 a a^2    1 b b^2    1 c c^2 が可逆であるための必要十分条件は? --- 可逆であるのは、|A|≠0のときなので、 |A| =(bc^2 + ab^2 + ca^2) - (a^2b + b^2c + c^2a) =a^2(c-b) + b^2(a-c) + c^2(b-a)≠0 と考え、a≠b≠c≠0 が必要十分条件かと考えたのですが、 なにか見落としているような気がしています。 間違いあれば、お教えください。

  • 行列の問題です

    Aを2次正方行列、Eを2次正方行列とし、(A-E)^2=Oであるとする。 (1)Aは逆行列をもつことを示せ。 (2)A^n+1-A^n=A-E(n=1,2,3,)であることを示せ。 (3)A=(a 2)      (-2 -1)とするとき、(A-E)^2=Oであるようにaの値を定めよ。 また、このときA^2(n=1,2,3,)を求めよ。

  • 成分が行列(?)の行列式の証明について.

    成分が行列(?)の行列式の証明について. 画像添付が失敗してしまったようで再掲です.すみません. ---問題ここから--- Aがm次の正方行列,Bがm行n列の行列,Cがn次の正方行列,Oがn行m列のゼロ行列の時, |A B| |O C| = |A||C| を示せ. ---問題ここまで--- という問題です.(実際の問題文の画像を添付しました.) まさか2次正方行列の公式を使って示したことにはならないでしょうし, 左辺を1行で余因子展開して A|C|-B|O|=A|C| としてみたのですが,これでは右辺と等しいとは言えませんよね. 成分が行列の行列式ってどう計算したらよいのでしょうか,やり方がわからずハマってしまいました... どなたか解答の方針を教えて頂けませんか?

  • 数C 行列 (先程はスミマセン…)

    数学Cの行列の応用の問題なんですが、(先ほどはスミマセン…) 「A≠0であって、あるB≠0に対し AB=0またはBA=0を満たすような行列Aを零因子という。次の命題が成り立つことを証明せよ。 2次の正方行列A(≠0)が逆行列をもたないならば、Aは零因子である。」   という問題なんですが、どう解けばいいのかわからなくて困っています、よろしくお願いします!。

  • 余因子 小行列 余因子行列

    余因子とは、例えば2行2列の正方行列 A=(1 2)    (3 4) において、行列Aの1行1列目の成分における余因子は、 a^~11=(-1)^1+1|4| のように表されます。 また、小行列式とは上の2行2列の行列において 1行1列目の成分における小行列式は、 D11=|4| のように表されます。 余因子行列は逆行列を求める際に利用されます。 上の2行2列の行列の余因子行列をA^~とします。 余因子行列は余因子をそれぞれの成分毎に並べて さらに転置した行列です。 ここで、良く分からない点があります。 余因子と小行列式の違いは、あるのでしょうか? 符号の違いだけでしょうか? 私の認識では、余因子に比べ小行列式は 行列から着目している成分を排除した だけと認識しています。 また、ネットで調べると余因子と小行列式は同じ事を 示しているページもあり混乱しています。 余因子の記号チルダについて私が持っている、 初心者向けの参考書には、余因子にも余因子行列 にも~(チルダ)が付いています。 これもネットで調べると、余因子にチルダがついていない 場合があったりして混乱しています・・・ 以上、質問内容をまとめますと、 ・余因子と小行列式の違いはどこ? ・余因子にも、余因子行列同様にチルダ記号が必要か? 特に取り決めがない場合は、現在の主流の方を教えて下さい。 以上、説明がちょっとへたくそですがご回答よろしくお願い致します。

  • 行列の証明

    a,b,c,d,r,sは実数とする。               a  b  2次の正方行列A=(     )と2次の単位行列Eに対して               c  d 集合L(A)をL(A)={sA+rE}とするとき L(A)の要素Bは零行列でなければ逆行列を持つ必要十分条件を求めなさい。 ここで言う集合、要素とはなんなんでしょう?要素Bってどれ? 何をすればいいか全くわからないです。

  • 行列の質問

    連立方程式{ax+by=0がx=y=0以外の解をもつ⇔係数行列(a b)が逆行を持たない⇔⊿=ad-bc=0        {cx+dy=0^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^(c d) 教えてほしいところ 1つ目と2つ目が必要十分条件の関係にない気がします。 まず、係数行列が逆行列を持たなくても一致になってx=y=0の解をもつ場合ってありますよね?? よって必要十分条件の関係にないんじゃないですか??

  • 行列の問題です、よろしくお願いします。

    A=(a b ; c d) (←2次の正方行列をこのように表すとします) (1)行列Aが固有値λ1、λ2 (λ1≠0、λ2≠0)を持つとするとき、ケーリー・ハミルトンの式を用いて、 tr(A)=λ1+λ2、 det(A)=λ1・λ2 となることを示せ。 (λ1の"1"などはλの添え字だとします) (2)上記の条件の下で、(λ1-λ2)・A^n=((λ1)^n-(λ2)^n)・A-((λ1)^n・λ2-λ1・(λ2)^n)・E が成り立つことを示せ。ただしnは正の整数とする。 ( "^n" はn乗を、"E"は単位行列を表しています) という問題がよくわかりません。 (1)は、僕なりの解としては、ケーリー・ハミルトンを用いなければ A-λE=(a-λ b ; c d-λ) det(A-λE)=(a-λ)(d-λ)-bc =λ^2-(a+d)λ+ad-bc=0 この方程式の2解はλ1、λ2なので、解と係数の関係より λ1+λ2=a+d=tr(B) λ1・λ2=ad-bc=det(B) としましたが、ケーリー・ハミルトンを用いるとどのようになるのでしょうか? (2)は、全然方針が思い浮かびません…どのように解くのでしょうか?よろしくお願いします。

  • 余因子行列 

    余因子行列について質問させて下さい。 添付画像にある行列に名称はありますでしょうか? 小行列式と書いてあるサイトなどあったのですがいまいち良くわかりません。。。 おそらく小行列式を並べた行列だと思うのですが。 また、小行列と小行列式についても教えて頂けないでしょうか? 小行列とはある行列の一部で構成された行列という認識です。 なので正方行列でなくてもOKだと思います。 例えば、 (a b c) (d e f) (g h i) において、第一列をなくした (b c) (e f) (h i) は小行列だと思います。 小行列式は小行列を行列式にしたものだと思っていたのですが、 上の例では行列式として定義できません。 解説よろしくお願い致します。 以上、よろしくお願い致します。