直和

質問

直和のわからない問題があって困っています。

V,W∈R^3 に対して
V＝{(x y z)^t｜x=y=z=0}
W＝{(x y z)^t｜x+y+z=0}とすると、V+W（+は直和関係を表す）=R^3になることを証明せよ。
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まずVとWの和空間が直和関係になることを示すために、
V∩W∋α=(a b c)^t とすると、α∈V かつ α∈Wより、条件式から
a=b=c=0かつa+b+c=0　よって、a=b=c=0
よって、V∩W={0ベクトル}　
したがって,直和の定理からV+Wは直和関係であるいえる。

と、直和関係を示したところまではよいと思うのですが（違ってたらご指摘お願いします）これが「R^3になる」ということをどうやって示せばよいのかがわかりません。もしわかる方がいましたら教えてください。

回答No.2

yoikagari

V+W（+は直和関係を表す）=R^3の大まかな解答の筋道を。

まずすべきなのはV∩W={0ベクトル}を示すこと。　
「連立方程式a=b=c、a+b+c=0
を解いてa=b=c=0」

あとはVに含まれる一次独立なベクトルを二つ
「たとえば(1,0,-1)^t、(0,1,-1)^tとか」
Wに含まれる一次独立なベクトルを一つ
「たとえば(1,1,1)^tとか」
あげて、この三つのベクトルがR^3で一次独立であることを言えばいいと思う。
(V＋W⊂R^3は明らかだし)

回答No.1

yoikagari

問題を間違えていませんか
本当は
V＝{(x y z)^t｜x=y=z}
W＝{(x y z)^t｜x+y+z=0}
のような気がします。

お礼

ご指摘ありがとうございます。
回答者さんのおっしゃるとおりです。
訂正します。