rot W = V を満たすWを求める

質問

次の問題なんですが

『ベクトル場V_i(i=1,2,3)を次により定める。
rotW_i=V_i を満たすベクトル場W_iは存在するか？存在する場合はW_iを求めよ
(i)V_1(x,y,z)=[x,y,z]:R^3→R^3
(ii)V_2(x,y,z)=[y,z,x]:R^3→R^3
(iii)…』

V=(v1,v2,v3)とする。
まず求めるWが存在するか否かを
　div V = (∂v1/∂x + ∂v2/∂y + ∂v3/∂z) = 0
で判定する。

(i)
div V = 1 + 1 + 1 = 3≠0
よりW_1は存在しない。

(ii)
div V = 0 + 0 + 0 = 0
よりW_2は存在する。
W_2=W=(w1, w2, w3)とする。

rot W = (∂w3/∂y - ∂w2/∂z , ∂w1/∂z -∂w3/∂x , ∂w2/∂x -∂w1/∂y)

あるからこれがVと等しいので連立方程式を解けばいいと思ったのですが、その解き方がわかりません。
どうやって解けばいいのか教えていただけないでしょうか？

回答No.1

noname#161582 · ベストアンサー

方程式

rot A = V ・・・(イ)

の解 A が得られたとします。任意のスカラー場 f をもってきて

W = A + grad f ・・・(ロ)

とおけば、rot (grad～)が恒等的に0であることから

rot W = rot (A + grad f) = rot A = V ・・・(ハ)

となってベクトル場 W も方程式(イ)の解であることがわかります。
この解の不定性を利用して方程式を変形することができます。

fは任意なので、既知の A に対して

div A + Δf = 0 ・・・(ニ)

を満たすように f をとることができます。
このとき式(ロ)の div をとると(ニ)より

div W = 0 ・・・(ホ)

が成り立ちます。

方程式(ハ)の rot をとると

grad (div W) - ΔW = [-1, -1, -1] ・・・(ヘ)

ところが条件(ホ)により方程式(ヘ)は

ΔW = [1,1,1] ・・・(ト)

となり、各成分ごとのポアソン型の方程式に帰着します。
この方法は電磁気学で使われるゲージ変換のようなものです。

上記を要約すると

rot W = [y,z,x] ・・・(チ)

を解く問題は、

ΔW = [1,1,1] かつ div W = 0 ・・・(リ)

を解く問題に帰着するといえます。
逆に(リ)の解がすべて(チ)を満たすとは限らないので検算が必要です。

一番簡単な答えは

W=(1/2)[z^2,x^2,y^2]

などでしょうか。これに任意の grad f を加えたものも解です。

お礼

回答ありがとうございます。
目は通しましたがまだ理解できていません…
再度、これを参考に考えまたわからない部分が出てきましたら補足させていただきます。

補足

ΔW = [1,1,1] かつ div W = 0 ・・・(リ)
に帰着できるところまでは理解できました。

　W = (1/2)[y^2,z^2,x^2]

も（リ）を満たすと思うのですが、これはrotW=[y,z,x]を満たしません。
これは（リ）を解いて得られた解をrotW=[y,z,x]で検算しないといけないのでしょうか？

また最後の（リ）の解き方もわかりません…
試行錯誤で求められそうではありますが…
最後の方程式の解き方も教えていただけたらうれしいです

回答No.2

noname#161582

rot W = [y,z,x] ・・・(チ)

から

ΔW = [1,1,1] かつ div W = 0 ・・・(リ)

への変形は同値変形ではありません。
(リ)の解の中で(チ)を満たすものがある、という程度にすぎません。
別のゲージ変換により(リ)以外の形に変形することも可能です。

なぜ(リ)の形にもっていったかというと、元の(チ)ではWの成分が入り混じった見通しの悪い形をしているからです。
(リ)の形は微分の階数が増えても、Wの成分ごとの方程式になって形がきれいだからです。
(実際にはdiv W=0の条件により結局成分が入り混じってしまうのですが・・・)

＞試行錯誤で求められそう
まったくそのとおりです。
筋の良い人だったら(チ)から解を視察で求めてしまうかもしれません。

どうもあまり参考にならないような話でもうしわけないです・・・

お礼

なるほど同値変形ではないのですね
回答ありがとうございました。