- ベストアンサー
x-y+2z=0で表されるxyz空間R^3の平面を
x-y+2z=0で表されるxyz空間R^3の平面をHとする．R^3からR^3への線形写像fは次の条件(i), (ii)を全て満たすとする． ここで，ベクトルの大きさはR^3の標準内積(ユークリッド内積)により定められるとする． (i)ベクトルv∈ R^3がHに平行ならばf(v)=-v (ii)ベクトルw∈ R^3がHに垂直ならばf(w)=2w このとき，ベクトル -1 1 4 のfによる像の大きさは6となるそうですが，その理由がわかりません．どなたか教えて下さいませんか．
- みんなの回答 （1）
- 専門家の回答
質問者が選んだベストアンサー
関連するQ&A
- V:有限次元内積空間,∀f∈Dual(V),∃1y∈V such that f(x)=<x,y> (∀x∈V)
宜しくお願い致します。 [問]VとDual(V)をそれぞれ有限次元内積空間とVの双対空間とする。 ∀f∈Dual(V),∃1y∈V such that f(x)=<x,y> (∀x∈V) という問題が証明できません。 Dual(V)はvHom(V,C):={f;f:V→C,fはベクトル空間準同型}(Cは複素数体を表す) の事です。 fがベクトル空間準同型とは∀v,w∈V,∀c∈C,f(v+w)=f(v)+f(w)∧f(cv)=cf(v)と満たす線形写像の事です。 内積の定義は複素線形空間Vの任意の要素x,yに対して複素数<x,y>が定まり,次の4条 件を満たす時<x,y>をxとyの内積といい,内積が定義されている空間Vを内積空間と言 う。 (i) <x,x>≧0; <x,x>=0⇔x=0 (ii) <x,y>=<y,x>~ (~はバーを表す) (iii) <x+y,z>=<x,z>+<y,z> (iv) <αx,y>=α<x,y> です。 この命題を満たすyとして何を採れば宜しいのでしょうか?
- ベストアンサー
- 数学・算数
- V,WがR上の線形空間のとき。
V,WはR上の線形空間、f：V→Wは全単射R-線形写像とします。｛e_1,…,e_n｝がVの基底ならば｛f(e_1),…,f(e_n)｝はWの基底であると示せますか？
- 締切済み
- 数学・算数
- 線形写像と線形変換
線形写像と線形変換 V , W をK上のベクトル空間とする。このときベクトル空間Vからベクトル空間Wへの写像fが、 Vの任意の要素x,yに対してf(x+y)=f(x)+f(y),f(kx)=kf(x)を満たすとき、fをVからWへの線形写像と言う。 これが線形写像の定義です。 別の記載では、R^n,R^mをk上のベクトル空間とする。このときベクトル空間R^n からベクトル空間R^m への写像f がR^nの任意の要素x,yに対して f(x+y)=f(x)+f(y),f(kx)=kf(x)を満たすとき、fを R^n からR^m への線形写像という。 ここで、テキストにはfがVからV自身への線形写像である時fを線形変換と呼ぶと記載されているのですが、 「VからV自身への線形写像」のイメージがあまりつきません・・・ 次元が同じ場合であれば線形変換？と思ったのですが間違いでしょうか？ よろしくお願い致します。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- x1=(1,1,1),x2=(1,1,-1),x3=(1,-1,-1)をC^3の基底,{y1,y2,y3}がその双対基底でx=(0,1,0)の時,y1(x),y
[問] ベクトルx1=(1,1,1),x2=(1,1,-1),x3=(1,-1,-1)をC^3の基底とする。 {y1,y2,y3}がその双対基底でx=(0,1,0)の時、 y1(x),y2(x),y3(x)を求めよ。 という問題の解き方をお教え下さい。 双対基底とは {f;fはF線形空間VからFへの線形写像} という集合(これをV*と置く)において、 V(dimV=nとする)の一組基底を{v1,v2,…,vn}とすると fi(vj)=δij(:クロネッカーのデルタ)で定めるV*の部分集合 {f1,f2,…,fn}はV*の基底となる。これを{v1,v2,…,vn}の双対基底と呼ぶ。 まず、 C^3の次元は6(C^3の基底は(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1),(i,0,0),(0,i,0),(0,0,i)) だと思うので上記のx1,x2,x3は基底として不足してると思うのです(もう3ベクトル必要?)。 うーん、どのようにしたらいいのでしょうか?
- ベストアンサー
- 数学・算数
- y=x^2やz=x^2+y^3の微分は何になる?
よろしくお願い致します。 『Rを実数体とする。距離空間X:=Π[i=0,n]R,Y:=Π[i=0,m]Rに於いて、 T:={A∈2^(X);A={(x1,x2,…,xn);∃ci,di∈R such that ci<xi<di}}とし、 a∈Xに於いて、map f:nbhd(a,(X,T))→Y (nbhd(a,(X,T))はaの位相空間(X,T)に於ける近傍系)に於いて、「fはaで微分可能である」』 の定義を 『B:={R上の線形写像g:X→Y ; [0<∀ε∈R,0<∃δ∈R such that (h∈{k∈X;0<k<δ且つa+k∈nbhd(a,(X,T))})}ならば|f(a+h)-f(a)-g(h)|/|h|<ε]}≠φ とし、fはaで微分可能であるという 又この時、Bは単集合となり、(df)aと表記し、「fのa∈nbhd(a,(X,T))に於ける微分」という』 というのが微分の定義だと思います。 つまり、微分とは線形写像の事である。 そうしますとy=x^2のx=aでの微分(df)aや z=x^2+y^3の(x,y)=(a1,a2)での微分(df)(a1,a2)はどのように書けるのでしょうか?
- ベストアンサー
- 数学・算数
- y,z∈V'(Vの線形写像全体の集合)[x,y]=0→[x,z]=0は∃α∋z=αyを意味する事を示せ。
おはようございます。 [Q] Prove the following statement: Let y,z∈V'(set of all linear functionals on V) [x,y]=0→[x,z]=0 implies that ∃α∋z=αy. という問題に悪戦苦闘しています。 linear functionalは線形汎写像(終集合がRやCの線形写像)の意味。 この問題はつまり、 "y(x)=0⇒z(x)=0"が成立するならば 線形写像z:V→R(or C) はαyという写像(zはyのスカラー倍になっているような線形写像)。 つまり、 V∋∀x→z(x):=α(y(x))という写像 である事を示せ。 という意味だと解釈しています(勘違いしておりましたらご指摘ください)。 その場合,どのように証明すればよいのでしょうか?
- ベストアンサー
- 数学・算数
- Vをn次元内積空間とする。線形写像f:V→Vがpositive且つ<f(x),x>≧0(∀x∈V)ならtr(f)≧0
内積空間についての命題の証明についてです。 [命題]Vをn次元内積空間とする。 線形写像f:V→Vがpositive且つ<f(x),x>≧0(∀x∈V)ならtr(f)≧0 を示しています。 fがpositiveであるの定義は<f(x),y>=<x,f(y)> (for∀x,y∈V) tr(f)の定義はfの表現行列Aのトレース Vの基底を{v_1,v_2,…v_n}とすると x=Σ[i=1..n]c_iv_i y=Σ[i=1..n]d_iv_i (c_i,d_i∈C:複素数体 (i=1,2,…,n)) f(v_j)=Σ[i=1..n]a_ijv_i と書け,((a_ij)=:Aをfの表現行列という) <f(x),y>=<f(Σ[i=1..n]c_iv_i),Σ[i=1..n]d_iv_i> =<Σ[i=1..n]c_if(v_i),Σ[i=1..n]d_iv_i>(∵fは線形写像) <x,f(y)>=<Σ[i=1..n]c_iv_i,f(Σ[i=1..n]d_iv_i)> =<Σ[i=1..n]c_iv_i,Σ[i=1..n]d_if(v_i)>(∵fは線形写像) で仮定より <Σ[i=1..n]c_if(v_i),Σ[i=1..n]d_iv_i> = <Σ[i=1..n]c_iv_i,Σ[i=1..n]d_if(v_i)> と書ける。。。 からどのようにして証明してけばいいのでしょうか?
- ベストアンサー
- 数学・算数
- また線形代数ですが、、
また線形代数ですが、、 どなたかお願いします🙇♂️ a1,a2,a3をR^3のベクトルで <ak,ak>=1(k=1,2,3), <a1,a2>=<a2,a3>=<a3,a1>=1/2 みたすものとする。ここで<a,b>はR^3のベクトルaとbの内積を表す。 (1)a1,a2,a3が一次独立であることを示せ (2)f:R^3→R^3をf(a1)=0,f(a2)=a3,f(a3)=a2をみたす線形写像とする。このとき、fの像 Im f の基底を求めよ、ただし0は零ベクトルを表す。 (3)基底(a1,a2,a3)に関するf:R^3→R^3の表現行列Aを求めよ (4)fの固有値を全て求めよ (5)fの各固有値に対する固有ベクトルを、a1,a2,a3の一次結合で表せ
- ベストアンサー
- 数学・算数
- ノルムの定義のより一般への拡張は?
いつもお世話になっております。 R線形空間Vに対し,下記を満たすf:V→Rなる写像fが採れる時, そのfをノルムと言い,Rをfによるノルム空間と言う(Rは実数体)。 (i) f(x)≧0;f(x)=0⇔x=0 (ii) f(rx)=|r|f(x) (r∈R) (iii) f(x+y)=f(x)+f(y) がノルム空間の定義だと思います。 これをより一般に定義拡張したいのですがその場合 全順序体F上の線形空間Vに対し,下記を満たすh:V→O(Oは全順序環)及びk:F×O→O及びd:F→Fなる写 像h,k,dが採れる時, そのhを内積と言い,Vをh,k,dによる内積空間と言う。 x,y∈V,f∈F (i) P(h(x),0_O)=true ;h(x)=0_O⇔x=0_V (PはOの順序関係、0_O,0_Vは夫々O,Vの零元) (ii) h(fx)=k(d(f),h(x)) (d(f)=f (Q(f,0_F)=trueの時、d(f)=-f (Q(0_F,f)=trueの時)) (iii) h(x+y)=h(x)+h(y) で正しいでしょうか? また、これから更に定義の拡張は可能でしょうか? 宜しくお願い致します。
- 締切済み
- 数学・算数
お礼
なるほど。理解できました。ありがとうございました。