y,z∈V'(Vの線形写像全体の集合)[x,y]=0→[x,z]=0は∃α∋z=αyを意味する事を示せ。

質問

おはようございます。

[Q] Prove the following statement:
Let y,z∈V'(set of all linear functionals on V) [x,y]=0→[x,z]=0 implies that ∃α∋z=αy.

という問題に悪戦苦闘しています。
linear functionalは線形汎写像(終集合がRやCの線形写像)の意味。

この問題はつまり、
"y(x)=0⇒z(x)=0"が成立するならば
線形写像z:V→R(or C) はαyという写像(zはyのスカラー倍になっているような線形写像)。
つまり、
V∋∀x→z(x):=α(y(x))という写像
である事を示せ。
という意味だと解釈しています(勘違いしておりましたらご指摘ください)。
その場合,どのように証明すればよいのでしょうか?

回答No.4

ringohatimitu · ベストアンサー

#1です。
＞＞V≠Ker(y)の時はα:=z(x_0)/y(x_0)と採れば
∀x∈Vに対し、
x∈Ker(y)ならz(x)=0且つy(x)=αz(x)=α・0 (∵仮定) =0となるのでy=zでOK。
x∈V＼Ker(y)ならz(x)=(z(x_0)/y(x_0))y(x)=???=y(x)
何故か
z(x)=y(x)が言えません。

z=yではなくz=αyとしてるので問題は無いように思いますが。

お礼

お手数お掛けしてすいません。

> #1です。
> ＞＞V≠Ker(y)の時はα:=z(x_0)/y(x_0)と採れば
> ∀x∈Vに対し、
> x∈Ker(y)ならz(x)=0且つy(x)=αz(x)=α・0 (∵仮定) =0となるのでy=zでOK。
> x∈V＼Ker(y)ならz(x)=(z(x_0)/y(x_0))y(x)=???=y(x)
> 何故か
> z(x)=y(x)が言えません。
>
> z=yではなくz=αyとしてるので問題は無いように思いますが。

特にα:=z(x0)/y(x0)と採らなくてもいいんですかね。α:=2と採ってもいいのですかね。
α:=2の場合にも仮定"y(x)=0⇒z(x)=0"は満たしてますよね。

うーん、論理的にこんがらがって来ました。
つまり、y(x)=0⇒z(x)=0なら∃α∈R;z=αy
ですよね。
背理法で示したい場合はどうなりますか?えーと、
y(x)=0⇒z(x)=0(これはKer(y)⊂Ker(z)と同値)だが∀α∈R,z≠αy
とわざと結論を否定してみると
∀α∈R,∃x'∈V＼Ker(y); z(x')≠αy(x') …(*)　が言え、
ここでα=0と採った場合も(*)が成り立ち。
z(x')≠0
、、、何とか矛盾を引き出したいのですがどうすればいいのでしょうか?

回答No.6

ringohatimitu

＞＞「y(x)=0⇒z(x)=0」が真になるようなz=αyを満たすα∈Fがあるよと言って挙げればいいわけですよね。

違います。これは間違いです。問題を正確に読み取りましょう。
すなわち「yとzの間にある関係（y(x)=0⇒z(x)=0）があるとき、ある数αが存在してz(x)=αy(x)がすべてのxに対して成立する」と言っているのです。（）内の関係は結論におけるxには無関係であることに注意してください。ところで確認ですが「z=αy」という事実が結論に入ってるからにはすでにz(x)=αy(x)がすべてのxに対して成立することを前提としてるように思われますがどうですか？それとも関数の間の等式「z=αy」を別の意味で定義されていましたか？

この問題の背理法による証明は別の方が回答してくださっていると思うのでそちらを参照してください。

お礼

遅くなりまして申し訳有りません。

> 思われますがどうですか？
そのような感じで解釈しておりました。

なかなか論理的に把握できませんでしたので背理法で
下記のようにして解決いたしました。

Vの基底をe_1,…,e_n とし，y(e_i)=a_i，z(e_i)=b_i とおく．写像はこの値
で決まる．Vの元をこの基底に関する成分で書いてx=(x_1,x_2,…,x_n)とする
と，y(x)=Σa_ix_i　と内積のようになる．
そこで背理法でz=cyとなるcが存在しないとする．つまり2つのベクトル(a_i)，
(b_i)が平行でないとする．すると，a_ib_j-a_jb_i≠0となるi，ｊがある．
そこで，Vの元　x=a_je_i-a_ie_j をとる．このxに関してy(x)=0だが，
z(x)≠0です．つまりy(x)=0⇒z(x)=0が成立しない．

回答No.5

ringohatimitu

いや、一般にα:=z(x0)/y(x0)としてやらないと駄目です。

＞＞α:=2の場合にも仮定"y(x)=0⇒z(x)=0"は満たしてますよね。

y(x)=0を満たすxについては成り立っていますが他のxのについてはα=2のままでは成り立ちません。
ker(y)の元xと、ker(y)の補集合の元xすべてに対して成り立つようにしたのが上のαです。

お礼

度々、お手数お掛けしまして申し訳有りません。

> いや、一般にα:=z(x0)/y(x0)としてやらないと駄目です。
> ＞＞α:=2の場合にも仮定"y(x)=0⇒z(x)=0"は満たしてますよね。
> y(x)=0を満たすxについては成り立っていますが他のxのについては
> α=2のままでは成り立ちません。

「y(x)=0⇒z(x)=0」が真になるようなz=αyを満たすα∈Fがあるよと言って挙げればいいわけですよね。
z:=2yとしてやると
y(x)=0⇒z(x)=2y(x)=2・0=0
で「y(x)=0⇒z(x)=0」は真となり、
y(x)≠0の場合(つまり、x∈V＼Keryの場合)、
"y(x)=0"は偽なので自動的に
「y(x)=0⇒z(x)=0」は真となりますよね(∵仮定が偽ならその命題は真)。

私は問題の意味を誤解しているのですかね(論理的にこんがらがって来ました)。

y(x)=0⇒z(x)=0(これはKer(y)⊂Ker(z)と同値)だが∀α∈R,z≠αy
とわざと結論を否定してみて矛盾が生じる事を言った方が分かり易いと思うですが
もし、背理法での証明もお分かりでしたら是非ご紹介賜れば幸いでございます。
是非、背理法をお願い致します。

回答No.3

koko_u_

y : V -> k だから V/kernel(y) は k の部分空間と同型
k は 1次元ベクトル空間だから、dim(V/kernel(y)) ≦ 1

つまり kernel(y) と V の「間」には 1次元分の隙間しかありません。

そして [x,y] = 0 => [x,z] = 0 とは kernel(y) ⊆ kernel(z) を意味していますね。

回答No.2

koyadi

20年ほど前に数学をやっていたものです。
あまり自信はないですが。。。

仮定の対偶より

z(x)≠0→y(x)≠0　・・・(ⅰ)

∃α∈R(or　C)　s.t　α=z(x)/y(x)
(ⅰ)を満たすx1≠x2に対し
α=z(x1)/y(x1)=z(x2)/y(x2)を満たすことを示せばよい。

ここでｚ(x1)≠0よりx1≠0（同様にx2≠0）
(線形写像の性質からz(0)=z(0×x1)=0×z(x1)=0となってしまいますよね)

x1=β×x2(β≠0)とすると

α=z(x1)/y(x1)
=z(β×x2)/y(β×x2)
=βz(x2)/βy(x2)　(∵線形性)
=z(x2)/y(x2)

よって任意のx∈Rにたいしてあるα∈Rが存在し
z(x)=αy(x)となる。

お礼

御回答有難うございます。
いまいち、対偶での御証明がわかりません。

背理法で矛盾を引き出した方が手っ取り早いと思うのですが、、、

背理法で示したい場合はどうなりますかね?
えーと、
y(x)=0⇒z(x)=0(これはKer(y)⊂Ker(z)と同値)だが∀α∈R,z≠αy
とわざと結論を否定してみると
∀α∈R,∃x'∈V＼Ker(y); z(x')≠αy(x') …(*)　が言え、
、、、うーんとこれからどうやって矛盾が引き出せますでしょうか?

回答No.1

ringohatimitu

その解釈で良いと思います。
証明ですがy(x)=0⇒z(x)=0なのでy(x)=0となるすべてのxに対してzはyのスカラー倍（というか等しい）になっています。
次にxがyのkernelに入ってない場合ですがこのxからyのkernelに入る元を作ってやります。
具体的にどうすればよいかというと、
まず任意にx_0をy(x_0)≠0であるものの中からとります（もしこのような元がなければyもzも写像として0ですから問題ありません)。
さてもう一つ任意のxをとります（これはVの任意の元で何でもよい）。
そのとき次の元∈Vを考えます：
x-{y(x)/y(x_0)}x_0 ∈V
これにyを作用させてみるとすぐに分かりますが0になります。
したがって仮定よりzを作用させても0。
結局何が得られたかというと、任意のxに対して
z(x)={z(x_0)/y(x_0)}y(x)
が成り立つということです。
あとは係数{・}をαとおいてやればお終いです。

これは有名な性質で更に進んだトピックでも時々現れて重宝します。

お礼

御回答有難うございます。

> その解釈で良いと思います。
> 証明ですがy(x)=0⇒z(x)=0なのでy(x)=0となるすべてのxに対してzはyの
：
> 結局何が得られたかというと、任意のxに対して
> z(x)={z(x_0)/y(x_0)}y(x)
> が成り立つということです。

このx_0は固定してあるのでしょうか?

つまり、α:=z(x_0)/y(x_0)と採れば、∀x∈V＼Ker(y)に対しても
z(x)=y(x)が成立するという事ですよね。

とりあえず下記のように考えました。
V=Ker(y)の時は仮定より∀x∈Vに対し、y(x)=z(x)となるのでα:=1と採れ、OK。
V≠Ker(y)の時はα:=z(x_0)/y(x_0)と採れば
∀x∈Vに対し、
x∈Ker(y)ならz(x)=0且つy(x)=αz(x)=α・0 (∵仮定) =0となるのでy=zでOK。
x∈V＼Ker(y)ならz(x)=(z(x_0)/y(x_0))y(x)=???=y(x)
何故か
z(x)=y(x)が言えません。
???の部分は何と書けますでしょうか?

勘違いしておりましたらすいません。