代数学の問題 V={(x,y,z,w)t|x+…

質問

代数学の問題です。

V={(x,y,z,w)t|x+w=0,y-z=0}(⊂R4)としたとき、 Vの基底を一組求め、dimVを求めよ

という問題です。 部分空間であることは証明できたのですが、これらがわかりません。
詳しく教えていただけますか？

回答No.3

misumiss

転置の意味でしたか.
この場合は, 横ベクトルのままでも, 回答者は理解できますが, 印刷されたとおりにかくなら, "お絵かき画像を添付する," という方法がありますので, 参考になさってください.
http://psguide.okwave.jp/answer/paint.html

ここでは, 横ベクトルを用いて記述します.
条件より, w = -x, z = y ですから,
V = { (x, y, z, w) | x + w = 0, y - z = 0 }
= { (x, y, y, -x) | x, y ∈ R }
= { x(1, 0, 0, -1) + y(0, 1, 1, 0) | x, y ∈ R }
ここで,
(1, 0, 0, -1) ∈ V と (0, 1, 1, 0) ∈ V は線型独立なので,
{ (1, 0, 0, -1), (0, 1, 1, 0) } は一組の基底であり, よって,
dim V = 2 は, 明らかですね.

回答No.2

misumiss

＞ V={(x,y,z,w)t|x+w=0,y-z=0}(⊂R4)としたとき、 Vの基底を一組求め、dimVを求めよ
t が何であるか教えていただかないと, 回答してみようがありません.

補足

すみません。
t(x,y,z,w)と書くべきだったでしょうか。。転置です。

回答No.1

alice_44

x+w=0, y-z=0 は、一次方程式です。
V を行列を使って { u | Au=0 } と書き、
係数行列 A の rank を計算しましょう。
V = Ker A なので、次元定理
rank A + dim Ker A = dim R^4
から dim V が出ます。