線形写像f:V→V'でf(V)はなぜ”部分”空間？

質問

線形写像f:V→V'について、
f(V)={a'|a'=f(a)、a∈V}はV'の部分空間となるらしいのですが、
なぜ”部分”空間なんでしょうか？
Vの各元がfによって移された元の作る空間がV'=f(V)で、f(V)はV'そのもの
？じゃないんですか？
初学でよく分かってません。どうぞ教えてください。

回答No.2

noname#184996 · ベストアンサー

＞Vの各元がfによって移された元の作る空間がV'=f(V)で、f(V)はV'そのもの
＞？じゃないんですか？

まず、V 、V'は線形空間で、ｆ によってVの元がV'に移る、という前提があるはず・・・。

ｆ で移るVの元がV' の元すべてに移るわけではないので、V’=f(V) は言えないのでは？（ｆ は全射であることが必要）

定義に戻って、a'、b'∈f(V)をとると、a、b ∈V　があって、a'=ｆ（a)、b'=f(b)∈V'　と書けます。

a+b∈Vで、a'+b'=ｆ（a)+f(b)=f(a+b)∈V'　、スカラ倍の方も同様・・・。よってf(V)はV'の部分空間。

まずV、V'の前提、部分空間の定義、部分集合と部分空間の区別から確認されてはどうでしょうか。

お礼

みなさんありがとうございました。写像を勘違いしてました

回答No.3

中村 拓男（@tknakamuri）

>Vの各元がfによって移された元の作る空間がV'=f(V)で、
>f(V)はV'そのもの？じゃないんですか？

まず V' がどのように定義されているのか確認みてください。
V'=f(V) と最初の前提として定義されているのでしょうか？

それと 「f(V)がV'の部分空間」 は私の学んだ流儀では
f(V)=V' を含んでます。

回答No.1

Tacosan

「f: V → V'」の意味を確認すべし.