y=1はw=1/zの写像でどうなる?

質問

48歳の会社員です。独学で複素解析を勉強していて、分からないところがあるので
質問します。
　複素解析の写像の問題で本の解答が誤っているように思うのですが、私の解答は
誤っているでしょうか ?

■問題
直線 y = 1 は w = 1 / z の写像でどんな曲線に移るか。

本の解答は
|w - i / 2| = 1 / 2
なのですが、
|w + i / 2| = 1 / 2
の誤りではないかと思います。

w = 1 / z は z = 1 / w … (1)
z = x + yi なので、y = 1 は z = x + i
w = u + vi とおいて、(1)に代入すると
x + i = 1 / (u + vi)
x + i = (u - vi) / (u + vi)( u - vi)
x + i = (u - vi) / (u^2 + v^2)
(x + i)(u^2 + v^2) = u - vi
x(u^2 + v^2) + i(u^2 + v^2) = u - vi
u^2 + v^2 = -v
u^2 + v + v^2 = 0
u^2 + v + v^2 + 1 / 4 = 1 / 4
u^2 + (v + 1 / 2)^2 = (1 / 2)^2
|u + (v + 1 / 2)i|^2 = (1 / 2)^2
|u + (v + 1 / 2)i| = 1 / 2
|w + i / 2| = 1 / 2

直線 y = 1 の点 z = i は w = 1 / z の写像で
w = 1 / z = 1 / i = -i
になりますが、
曲線 |w - i / 2| = 1 / 2 は 点 w = i / 2 を中心とした
半径 1 / 2 の円なので、点 w = -i は通りません。
曲線 |w + i / 2| = 1 / 2 は 点 w = -i / 2 を中心とした
半径 1 / 2 の円なので、点 w = -i は通ります。

　私の解答は誤っているでしょうか ?

回答No.1

noname#232123 · ベストアンサー

w=1/z=x/(x^2+y^2)+i*(-y)/(x^2+y^2)
ですから、y=1 とすると、w=x/(x^2+1)+i*(-1)/(x^2+1)
w=u+v*i とすると、
u=x/(x^2+1), v=-1/(x^2+y^2) となりこれからu, v の関係式をつくると、
u^2+(v+1/2)^2=1/4, (ただし、Oを除く)
となります。
テキストのミスに悩むことはないと思います。

お礼

ありがとうございます。
私には複素解析が難しく、自分の解答に確信が持てなかったので質問しました。

回答No.3

178-tall

>u = x / (x^2 + 1)
>v = -1 / (x^2 + 1)　と思います。

確かに！
やり直しは、a = -1/2 になりそう。

　-----------
　u^2 + { v + (1/2) }^2 = 1/4
を得る。
(円中心は虚軸上 +i/2 )

これは、
　|w + (i/2) | = (1/2)^2
ということみたいですネ。

回答No.2

178-tall

忘却のかなたの「直線 y = 1 は w = 1/z の写像でどんな曲線にうつるか」という勘定をトライ。

w = 1/z は、z = x + i を w = u + iv に写す。
　u = x / (x^2 + y^2)
　v = 1 / (x^2 + y^2)
(w 上で円になる証明は、この急場ではスキップ)
u は x の奇関数、v は奇関数ゆえ、円の中心は虚軸上 ia だとして、
　　スタート。
　　　　↓
　u^2 + (v - a)^2
　= [ x / (x^2 +1) ]^2 + [ {a(x^2 + 1) - 1} / (x^2 + 1) ]^2
　= { x^2 + a^2(x^2 + 1)^2 -2a(x^2 + 1) + 1 } / (x^2 + 1)^2
　= { a^2*x^4 + (1 + 2a^2 - 2a)x^2 + (a - 1)^2 } / (x^2 + 1)^2
… となり、a^2 = (a - 1)^2 なら (1 + 2a^2 - 2a) も a^2 に一致するから、
　u^2 + (v - a)^2 = a^2* (x^2 + 1)^2 / (x^2 + 1)^2
　= a^2
だろう。(このくだり、省力化できそうだが 先を急ごう)
つまり、a = 1/2 として、
　u^2 + { v - (1/2) }^2 = 1/4
を得る。
(円中心は虚軸上 +i/2 )

これは、
　|w - (i/2) | = (1/2)^2
ということみたいですネ。

補足

ありがとうございます。

> w = 1/z は、z = x + i を w = u + iv に写す。
> 　u = x / (x^2 + y^2)
> 　v = 1 / (x^2 + y^2)
u = x / (x^2 + 1)
v = -1 / (x^2 + 1)
と思います。

z = x + i
w = 1 / z = 1 / (x + i) = (x - i) / (x + i)(x - i)
w = (x - i) / (x^2 + 1) = x / (x^2 + 1) - i / (x^2 + 1)
w = u + iv なのだから、
u = x / (x^2 + 1)
v = -1 / (x^2 + 1)

　いかがでしょうか ?