等角写像

質問

等角写像
|z+5i/4|=3/4をw=(2zi-1)/(z+2i)により繰り返し写像する。
n回写像したときの図形と虚軸の交点の値とnを大きくしたときどのような図形になるか。
という問題で
なぜ
「
n回写像したときの図形は、
実数軸(w=u)の直線または|w-(5i/4)|=3/4の方程式で示される円となり、
虚軸との交点は
写像か実数軸(v=0)のとき、原点(0,0)となり
写像が円のとき(0,5/4±3/4)=(0,2)と(0,1/2)になる。
」
となるのでしょうか?
|w-(5i/4)|=3/4は|z+5i/4|=3/4に写像されないのではないでしょうか?

n回写像したときの図形は、
n=1のとき実軸の直線で
n≧2のとき
中心
i(1+9^{1-n})/(1-9^{1-n})
半径
2/{3^{n-1}-(1/3^{n-1})}
の円となり
虚軸との交点は
n=1のとき0で
n≧2のとき
i[(1+9^{1-n})/(1-9^{1-n})±2/{3^{n-1}-(1/3^{n-1})}]
になる。
nを大きくしたとき
点
i
に収束する
のではないでしょうか?

f(z)=(2zi-1)/(z+2i)
g(z)=(z-i)/(z+i)
h(z)=z/3
とすると
g^{-1}(z)=i(z+1)/(1-z)
f=g^{-1}hg
だから
n回写像する変換は
f^n=(g^{-1}hg)^n=g^{-1}(h^n)g
と表される

中心-5i/4半径3/4の円
|z+5i/4|=3/4をgで写像すると
w=g(z)=(z-i)/(z+i)
z=i(1+w)/(1-w)
|z+5i/4|=|i(1+w)/(1-w)+5i/4|=3/4
3=|w|
中心0半径3の円となる

中心0半径3の円
|z|=3をh^nで写像すると
w=(h^n)(z)=z/3^n
|w|=|z/3^n|=3^{1-n}
中心0半径3^{1-n}の円となる

中心0半径3^{1-n}の円
|z|=3^{1-n}をg^{-1}で写像すると
w=g^{-1}(z)=i(z+1)/(1-z)
z=(w-i)/(w+i)
|z|=|(w-i)/(w+i)|=3^{1-n}
n=1のときw~=wだから実軸となり,虚軸との交点は0
n>1のとき
|w-i(1+9^{1-n})/(1-9^{1-n})|=2/{3^{n-1}-(1/3^{n-1})}
だから
中心i(1+9^{1-n})/(1-9^{1-n})
半径2/{3^{n-1}-(1/3^{n-1})}
の円となる
虚軸との交点は
i[(1+9^{1-n})/(1-9^{1-n})±2/{3^{n-1}-(1/3^{n-1})}]
になる。

n=2のとき
中心i(1+9^{1-n})/(1-9^{1-n})=5i/4
半径2/{3^{n-1}-(1/3^{n-1})}=3/4

n=3のとき
中心i(1+9^{1-n})/(1-9^{1-n})=41i/40
半径2/{3^{n-1}-(1/3^{n-1})}=9/40

ここでnを大きくすると
中心は
lim_{n→∞}i(1+9^{1-n})/(1-9^{1-n})=i
に近づく
半径は
lim_{n→∞}2/{3^{n-1}-(1/3^{n-1})}=0
に近づく
虚軸との交点は
点
i
に近づく

回答No.1

ramayana · ベストアンサー

そうですね。

　　f(z) = (2iz -1)/(z+2i)

として、それに対応する行列を T とすれば、 T^n は、添付図の 3 行目のようになります。したがって、 f を n 回施した結果は、添付図 4 行目のようになります。よって、 z ≠ -i のとき、 n を大きくすれば、 f^n(z) は、確かに、一点 i に収束します。

お礼

回答ありがとうございます。
「nを大きくしたときも図形は同じで、写像は、実軸と円とが交互に繰り返し現れる」
というのは誤りで、
1点iに収束するというのが正しい
と確認しました。