複素数の写像

質問

双曲線になる写像の求め方がわからないので質問します。
問題は、　ω=(1/2)*{z+(1/z)}とする。zが0を通る直線を動くとき、ωはどのような図形を描くか。(とくにzが実数軸に対して対称な直線をうごくとき、また実軸上をうごくときに注意せよ。)z平面において、0を通る直線と、0を中心とする円は直交する。この直交性は保存されるか、向きはどうか。(本の問題文にはωとzの関係式が直接書かれてはおらず、数ページに前から例3としてω=(1/2)*{z+(1/z)}を考察していたので、この関係式が問題文で扱われると推測しました。)　です。
答えは、　(±1,0)を焦点とする双曲線、実数軸に関して対称な直線に関しては同じ双曲線。直交性は保存される、向きも保存。　でした。
自分はαを複素数、tを実数としてzが原点を通る直線を動くを、z=tαとして、ω=u+vi,z=x+yiとおいてuとｖをxとｙで表し、xとｙが満たす関係式からuとvの関係を導こうとしましたが、tα=x+yiとおいてもxとｙが満たす関係式すらわかりませんでした。どなたか問題の解説を高校数学の範囲でよろしくお願いします。

回答No.1

上野 尚人（@uenotakato）

以下、 z ≠ 0 とします。
z = r (cosθ + i sinθ) (r > 0) とおくと
w = (1/2) { r (cosθ + i sinθ) + (1/r) (cos(-θ) + i sin(-θ)) }
= (1/2) { (r + (1/r)) cosθ + i (r - (1/r)) sinθ }
となり、w = x + yi (x , yは実数) とおくと

x = (1/2) (r + (1/r)) cosθ
y = (1/2) (r - ((1/r)) sinθ

となります。
z が原点を通る直線上（原点は除く）を動くときはθが一定です。

・sinθ = 0 , つまりzが実軸上を動くとき
cosθ = ±1 , r + (1/r) ≧ 2 より | x | ≧ 1 なので
wの描く図形は「実軸のうち | x | ≧ 1 を満たす範囲」
・cosθ = 0 , つまりzが虚軸上を動くとき
sinθ = ±1 , r - (1/r) はすべての実数値をとるので
wの描く図形は「虚軸全体」
・sinθ ≠ 0 かつ cosθ ≠ 0 のとき
x / cosθ = (1/2) (r + (1/r)) , y / sinθ = (1/2) (r - (1/r))
二乗の差をとって
(x / cosθ)^2 - (y / sinθ)^2 = 1
これは (±1 , 0) を焦点にもつ双曲線です。

つぎに、zが原点を中心とする円を描く場合は、rが一定でθが変化します。
・r = 1 , つまり円の半径が1のとき
x = (1/2) (r + (1/r)) cosθ = cosθ より | x | ≦ 1
y = (1/2) (r - (1/r)) sinθ = 0
よってwは「実軸上の | x | ≦ 1の範囲」を描きます。
・r ≠ 1 のとき
x / {(1/2)(r + (1/r))} = cosθ , y / {(1/2)(r - (1/r))} = sinθ
両辺を2乗して加えて
[ x / {(1/2) (r + (1/r))} ]^2 + [ y / {(1/2)(r - (1/r))} ]^2 = 1
これは楕円を表します。
(1/2) (r + (1/r)) = a , {(1/2)(r - (1/r))} = b とおくと
(x / a)^2 + (y / b)^2 = 1 (a^2 - b^2 = 1)
となり、この楕円の焦点は (±1 , 0) です。

焦点を共有する双曲線と楕円が交わるとき、その交点において2曲線は直行します。（双曲線の接線と楕円の接線が直交します）

お礼

回答ありがとうございます、時間をかけて回答が理解できるように努めます。