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複素数で表された式の軌跡（！？）
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ω=1/(z-2)=u+iv (1) z=x+yi=1+yiを(1)に代入すると 1/(z-2)=1/(-1+yi)=-1/(1+y^2)-y/(1+y^2)i=u+vi (2) これから u=-1/(1+y^2) (3) v=-y/(1+y^2) (4) (3),(4)からyを消したu,vの関係式が求める図形の方程式となる。そこで(4)を両辺を2乗して(3)を代入すると v^2=y^2・u^2 (5) (3)よりy^2=-1(1+1/u)であるのでこれを(5)に代入すると v^2=-u^2(1+1/u)=-u^2-u (6) (6)を整理すると u^2+u+v^2=(u+1/2)^2+v^2-(1/2)^2=0 (7) (7)は中心(-1/2,0)、半径(1/2)の円の方程式ですね。 (u+1/2)^2+v^2=(1/2)^2
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- ringohatimitu
- ベストアンサー率59% (111/187)
ωをyで表してみると、 1/(iy-1)=(-iy+1)/(1+y^2)になります。 そこでωの実部X,虚部Yをそれぞれyで表すと X=-y/(1+y^2), Y=1/(1+y^2)となります。これから X^2+Y^2=Yが得られます。式変形して X^2+(Y-1/2)^2=(1/2)^2となり軌跡は中心(0,1/2)半径 1/2の円であることが分かります。
- k-katou
- ベストアンサー率28% (16/56)
これはω=1/(z-2)の式をzについて解いて、代入してみりゃいいんじゃないですか？
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