複素数

質問

複素数の実部と虚部が文字を含むのがわからないので質問します。
問題は、2乗して8+6iになる複素数をzとするとき、次の式の値を求めよ、z^3-16z-(100/z) です。
自分はz^3-16z-(100/z)を変形して、z^2を含む項をつくり、解こうと思いましたが解けませんでした。この問題の解説は、z=x+yi(x,y∈R)とおくと、(x+yi)^2=8+6iよりx^2-y^2=8・・・(1) xy=3・・・(2) (1)*3-(2)*8を計算すると、(3x+y)(x-3y)=0⇔y=-3x,x=3y これよりz=±(3+i) これを代入してz^3-16z-(100/z)=±20(3-i)でした。
y=-3x,x=3y これよりz=±(3+i) がわかりません。y=-3xかつx=3y のとき　y=-9yからy=0そしてx=0となってしまい。y=-3xのとき　z=(-y/3)-3xi、x=3yのときz=3y+(x/3)iどのように計算したら、z=±(3-i)になるかわかりません。どなたかz=x+yi(x,y∈R)とおくとき、y=-3x,x=3y としたら、z=±(3+i)を教えてくださいおねがいします。

回答No.1

kiha181-tubasa · ベストアンサー

z=x+yi(x,y∈R)とおくと、(x+yi)^2=8+6iよりx^2-y^2=8・・・(1) xy=3・・・(2)

この手続きが基本です。補足しますと，i^2=-1ですから
(x+yi)^2=x^2+2x*yi+(yi)^2=x^2+2xyi-y^2=x^2-y^2+2xyi
となりますね。また
a+bi=0 ⇔ a=0 かつ b=0　（複素数の相等の定義）
a+bi=c+di ⇔ a=c かつ b=d　（複素数の相等の定義）
この２つは同じものです。
これを使うのが基本です。これを使って，先ほどの(1),(2)が得られたのでした。

さて，いよいよx.yの連立方程式
x^2-y^2=8・・・(1)
xy=3・・・(2)
を解く作業ですね。

泥臭くいきます。(2)はxもyも0でないことを示しています。(2)より
y=3/x ……(3)
これを(1)に代入すると
x^2-9/x^2=8
計算を楽にするためにx^2=tとおきます。すると，t>0で
t-9/t=8
t^2-9=8t　（両辺にtをかけて分母を払いました）
t^2-8t-9=0
(t+1)(t-9)=0
t>0であるからt+1>0なので
t-9=0
t=9
x^2=9
∴x=-3, 3
(3)より，x=-3のときy=-1, x=3のときy=1
よって
x+yi=-3-i,3+i
つまり
z=±(3+i)
となるのです。
ここまではよろしいでしょうか。
あとはzを代入してコツコツとz^3-16z-(100/z) を計算してください。
（1/zの計算もわかりますね。「中学校で習った分母の有利化」のように，共役複素数を分子と分母にかければ良いことはご存じですね）

さて，お悩みの
「(1)*3-(2)*8を計算すると……」
ですが，こんな軽業・裏技をまねする必要はありません。おそらく参考書か問題集にった例解だと思いますが，受験慣れした浪人向けに予備校の講師あたりが書いた例解と思えます。絶対にマネしてはいけません。

と，言いつつも最後の疑問
＞y=-3x,x=3y これよりz=±(3+i) がわかりません
y=-3xかつx=3y のとき……
「y=-3xかつx=3y」ではありません。「y=-3xまたはx=3y」です。

y=-3xのとき，(2)に代入して
-3x^2=3,x^2=-1 これを満たす実数xは存在しない。
x=3yのとき(2)に代入して
3y^2=3,y^2=1,y=±1
以下省略します。

　でも，ご質問の例解は「基礎から学んで知る現役生(つまり高校生)を惑わせる解法，カッコいいところ(さっぱりよくありませんが)を見せつけたい解法」だと思います。最悪。

お礼

割る数が０でないかの確認や、未知数の値域などに注意したいと思います。お返事ありがとうございます。

補足

よければお返事ください。
「y=-3xかつx=3y」ではありません。「y=-3xまたはx=3y」です。と回答にあるのですが、数Ⅰの集合でAまたはBは、AかつBを含んでいるとおもうのですが、「y=-3xかつx=3y」ではありません、とすると、「y=-3xまたはx=3y」の一部分が否定された(含まれない)ような気がして、それでは「y=-3xまたはx=3y」もなりたたないような気がしてしまいます。この場合のまたはは、y=-3xか、x=3yどちらか一方であるということでしょうか、横道にそれたような質問ですが、回答してくださると幸いです。よろしくお願いします。

回答No.4

staratras

御質問の核心部分ではありませんが計算の工夫は可能です。

z≠0 は明らかなので、
z^3-16z-(100/z)=（z^4-16z^2-100)/z
={(8+6i)^2-16(8+6i)-100}/z
=-200/z　です。

z=±(3+i)を求めたあと　z^3-16z-(100/z)にそのまま代入するよりこちらに代入するほうが計算量は少ないでしょう。

お礼

アドバイスありがとうございます。

回答No.3

kiha181-tubasa

参考書（問題集）の例解のように進んでいって，x=0,y=0を却下する理由はその通りですね。
前にも書きましたが，ご質問に出ていた例解の方法はお勧めしません。まず，絶対に思いつかない（これで，現役生は自信をそがれる）・決して効率的ではない・解答した人も苦労して結果の苦肉の策に見える等の理由です。基本に従って泥臭く解く方が最終的には合理的です。

お礼

これからは、ゴリゴリ計算をできるように、計算ミスを減らすなどの対策をしていきたいと思います。何度も回答していただきありがとうございます。

回答No.2

kiha181-tubasa

＞AまたはBは、AかつBを含んでいる
その通りです。つぎのとおりですね。
AでありかつBである
AでなくかつBである
AでありかつBでない
のいずれかという事です。
この３つ全てを許しても結果的に２つだけとなってしまう事もあるのです。

(例）２次方程式を因数分解して
(x+1)(x-5)=0
となった時は
x+1=0またはx-5=0
と進みますね。そして
x=-1またはx=5
と結論し
２次方程式の解は -1と5 である
となります。

このx+1=0またはx-5=0を詳しく見ると
①x+1=0かつx-5=0
②x+1=0かつx-5≠0
③x+1≠0かつx-5=0
のどれかが成り立つことになるのですが
①からは　x=-1かつx=5　（矛盾ですね）
②からは　x=-1かつx≠5　（OK！)
③からは　x≠-1かつx=5　（OK！)
となります。
この場合は①の場合は矛盾になってしまいました。

「または」は「かつ」の場合も含んでいるのは確かです。が，実際の計算ではこの事を特に意識しないで十分かと思います。

お礼

場合分けして解説してもらいありがとうございます。参考にします。

補足

よければお返事ください。
回答で、(例）２次方程式を因数分解して、(x+1)(x-5)=0　x=-1かつx=5　（矛盾ですね）とあるのですが、
今回の２乗すると8+6iになる複素数zを含む式の値を求める問題では、y=-3xかつx=3yから、x=0とy=0とするとz=x+yiが２乗しても8+6iにならないので不適とすればよいというのも考え方に１つでしょうか？何度も質問してすいません。