平面ベクトルと複素数の関係について

質問

複素数の実部と虚部を平面上の(x,y)と対応づける事をよくしますよね？
これには、どのような利点があるのでしょうか？
※複数あると思うので、具体例を列挙していただけると助かります。

また、ベクトルの成分同士（平面ベクトルで言えばxとy）は
次元が違いますからxとyが干渉し合う事はありません。
（yはどこまでいってもどこまで）
でも複素数の実部と虚部には i*i = -1　という実部と虚部を繋ぐ関係式があるので
実部と虚部は完全に独立した存在ではないと思うのです。
（もちろん積さえ考えなければ、実部と虚部は独立しているというのは理解できます。。）
よって、ベクトルと複素数は似て非なるものではないかとおもうのですが。。

それに関連して、あるサイト上で以下のような記述を発見しました。
「
まずはa→＝（１，３），b→＝（２，２）のように，ベクトルを成分で表します。これを複素数だと思って，
a＝１＋３i，b＝２＋２i　と読み替えてください。この２つの複素数の掛け算は，

　　(１＋３i)(２+２i)＝２＋２i＋６i－６＝－４＋８i

となります。これを再びベクトルとして読み替えると（－４，８）となりますが・・・
実はこれがベクトルの積の計算方法なのです。

　　a→×b→＝(１，３)×(２，２)＝(－４，８)

というのが正解です。
」

たとえば、i*i= -2 という風に定義していたとしたらこの計算結果は変わってきますよね？
なのでこのように複素数とベクトルを同一視するのはおかしいと思うのですが。。

ベクトルと複素数に関して、理解を深めたいので解説してください。
お願いします！

回答No.5

中村 拓男（@tknakamuri）

もう一点。線形代数の一般的なベクトルの演算規則と、
複素数の演算規則は異なるので、そういう意味では
等価ではありません。

でも2次元で図示することでわかりやすくなります。

例えば、複素数は大きさと位相を持つ物理量を扱うのに多用されますが
これは2次元で図示すれば、ベクトルの大きさと傾きに対応しています。

また回転行列などを使うことで複素数と同等の操作を行うこともできます。
適宜使いやすいところで使えばよいのではないでしょうか？

回答No.4

中村 拓男（@tknakamuri）

ベクトルでも掛け算と割り算を定義してやれば
複素数と等価なものは作れます。基本は２項の
ベクトルの演算規則のひとつに過ぎないので。

x -y
y x

という行列が複素数と等価なのも結構有名です。

回答No.3

178-tall

>複素数の実部と虚部には i*i = -1　という実部と虚部を繋ぐ関係式があるので　実部と虚部は完全に独立した存在ではないと思うのです。

ご自身があとに例示なさっている「外積」を見るかぎり、ベクトルでも同じことが言えそうですが…。

>たとえば、i*i= -2 という風に定義していたとしたらこの計算結果は変わってきますよね？

これは「単位の規準化」の問題らしい。
…ので、そ事後処理を欠かせず、「計算結果は変わって」こないと思います。

「複素数の実部と虚部を平面上の(x,y)と対応づける」利点は、与えられた問題に対する解法の道筋を二つ提示できる、ということにあると思います。

回答No.2

housyasei-usagi

No.1です

＞45°回転となると、1/√2＋√2i　（スカラ値は1にしないといけないのでちょっとややこしい）

1/√2＋(1/√2)iの間違いです。失礼。

　()付けたのはiが分母じゃなくて分子の意味ですので念のため。

回答No.1

housyasei-usagi

1×(-1)=-1 は180°回転、
1×i=i は90°回転。

i×i=-1　90°回転２回で180°回転。

45°回転となると、1/√2＋√2i　（スカラ値は1にしないといけないのでちょっとややこしい）
(1/√2＋(1/√2)i)^2=i（途中計算省略）
めでたく90°回転となりました。

というわけでi*i= -2とは定義しないんじゃない？

もともと、数直線上で-1を掛けたら180°回転するのを
90°回転するにはの考えから虚数が生まれたみたいです。

あとはベクトル合成の計算なんか簡単ですよね。
実数部と虚数部をそれぞれ足せばいいのですから。