ベクトルの外積の問題

質問

ベクトルＡの向きをx軸の方向ベクトルＡ＝（Ａ，０，０）に、ベクトルＢを（x,y）平面にとるとベクトルＢ＝（Ｂx,Ｂy,０）＝Ｂ（cosθ、sinθ、０）であるからベクトルＣ＝ベクトルＡ×ベクトルＢ＝ＡＢ（０，０,sinθ）　このベクトルの大きさはＡＢsinθ＝Ａ（Ｂsinθ）＝（Ａsinθ）Ｂと表せるので、大きさＡとベクトルＡに垂直なベクトルＢの成分との積、あるいは大きさＢとベクトルＢに垂直なベクトルＡの成分との積である。
ベクトルＡとベクトルＢとで作る平行四辺形の面積で、向きがベクトルＡとベクトルＢとで作る平面な垂直なベクトルになる。
問題１　ベクトルＡ×ベクトルＡを計算せよ。
問題２　ベクトルＡ＝（Ａx，Ａy，０）＝Ａ（cosα,sinα,０）とベクトルＢ＝（Ｂx，Ｂy,０）＝Ｂ（cosβ,sinβ,０）の外積ベクトルＣ＝ベクトルＡ×ベクトルＢを作り、三角関数の加法定理を使い、大きさ｜Ｃ｜とその方向の意味を考えよ。　

全く解けません。どなたか教えていただけますか？

回答No.2

akitaken · ベストアンサー

次の式で外積を求めることが出来ます。
A=(Ax,Ay,Az),B=(Bx,By,Bz)とおくと

　 　　　|i j k|
A×B=|Ax Ay Az|
　　　　 |Bx By Bz|
=(AyBz-ByAz)i+(AzBx-AxBz)j+(AxBy-AyBx)k
ここでi,j,kは単位ベクトルです。
i=(1,0,0),j=(0,1,0),k=(0,0,1)

これに当てはめて考えてみます。
問１
A×A=(0*0-0*0)i+(0*A-A*0)j+(A*0-0*A)k=0
問２
A×B=(Asinα*0-Bsinβ*0)i+(0*Bcosβ-Acosα*0)j+(Acosα*Bsinβ-Ａsinα*Bcosβ)k
=AB(cosα*sinβ-sinα*cosβ)k
=(0,0,AB(cosα*sinβ-sinα*cosβ))=(0,0,ABsin(β-α))

よって大きさ|c|=|ABsin(β-α)、方向はz成分です。|

お礼

よくわかりました！ありがとうございます！

回答No.1

info22

問題１
ベクトルＡ×ベクトルＡ＝(0,0,0)
同じベクトルですからベクトルのなす角θ=0
で面積=0だから、大きさゼロのベクトルに方向は定義できないですね。

問題２
ベクトルＣ＝ベクトルＡ×ベクトルＢ
＝Ａ（cosα,sinα,０）×Ｂ（cosβ,sinβ,０）
＝AB(0,0,cosαsinβ-sinαcosβ)
＝AB(0,0,sin(β-α))
|ベクトルＣ|＝|ABsin(β-α)|
絶対値は|β-α|=π/2のとき最大になる。
|β-α|=0またはπのときゼロになる。
方向はz成分だけだからｚ軸方向（正または負方向）

お礼

本当にありがとうございます！とてもたすかりました！