- ベストアンサー
質問：数学Ｂの問題を外積を使わずに解くことはできますか？
- 数学Ｂの問題について、外積を使わずに解く方法を教えてください。
- 問題の答えはS'=S*cosγであると思いますが、外積を利用せずに解くことはできますか？
- 外積の性質を利用した解法は、ベクトルPの成分表示の意味がないため、別の解法があるのでしょうか？
- みんなの回答 （3）
- 専門家の回答
質問者が選んだベストアンサー
- ベストアンサー
#1ですが書き損じがあったので訂正。 誤: S'=3/√(12^2+4^2+3^2)=Scosγ 正: S'=S{3/√(12^2+4^2+3^2)}=Scosγ
その他の回答 (2)
- think2nd
- ベストアンサー率63% (23/36)
普通の問題です。 基礎知識は 2つの平面が角θで交わっているとき、一方にある面積Sの図形を、もう一方の平面に正射影したとき、できる図形の面積S'はS'=Scosθ となることさえ知っていれば十分です。 難しいのは、空間にあるから、イメージ取りにくいことでしょうか。 余計ですが⊿OABのOは原点と解釈します。(Oはどこでも構いません。平行移動しても面積は不変ですから重要ではありません。) ⊿OABを含む平面の方程式は12x+4y+3z=0ですが、この平面とxy平面との交線の方程式は z=0 y=-3x です。この交線はz軸とも、ベクトルPとも垂直な関係にあります。 さてz軸とベクトルOPを含む平面をπとします。この平面πとxy平面とによってできる交線をlとし,また平面πと ⊿OABを含む平面とによってできる交線をkとおくと、kはベクトルOPに垂直ですし lはz軸に垂直です。しかも∠zOP=γですから2つの平面(⊿OABを含む平面とxy平面)のなす角がγになります。(lとkの角がγとなります。うまく、絵をかいてみて試してください。) だからS'=scosγになります。
お礼
回答ありがとうございます。 私は、空間図形をイメージするのが苦手なので、 筋道を立てて説明していただき助かりました。 途中に、平面の方程式や平面の交線の方程式などがでてきて、 とくに、交線の方程式は、なるほど！こうやって考えるのかと とても参考になりました。 > 2つの平面が角θで交わっているとき、一方にある面積Sの図形を、 > もう一方の平面に正射影したとき、できる図形の面積S'はS'=Scosθ > となることさえ知っていれば十分です。 面積を定義する素子が正方形だから、積分等の概念から、 （平面上に描かれた）曲線で囲まれる図形 にも、S'=Scosθ が使えますね。
紛らわしいのでAの座標を(a[1],a[2],a[3]),Bの座標を(b[1],b[2],b[3])とします。 > 12a1+4a2+3a3=0 > 12b1+4b2+3b3=0 > などを利用する？？ はい。 |a[2]b[3]-a[3]b[2]|=(12/3)|a[1]b[2]-a[2]b[1]| |a[3]b[1]-a[1]b[3]|=(4/3)|a[1]b[2]-a[2]b[1]| が得られるので S=(1/2)√[{1+(12/3)^2+(4/3)^2}(a[1]b[2]-a[2]b[1])^2] =(1/2)(1/3){√(12^2+4^2+3^2)}|a[1]b[2]-a[2]b[1]| =(1/3){√(12^2+4^2+3^2)}S' ∴S'=3/√(12^2+4^2+3^2)=Scosγ やっていることは大差ありません。
お礼
回答ありがとうございます。 お礼は、改めて#4の方で！
補足
間違えました。お礼は、改めて#3の方で！
お礼
改めまして、回答ありがとうございます。 添え字が面倒でしたよね、本当にありがとうございます。 回答を拝見させていただき、あまり頭の回転がよくないので > |a[2]b[3]-a[3]b[2]|=(12/3)|a[1]b[2]-a[2]b[1]| > |a[3]b[1]-a[1]b[3]|=(4/3)|a[1]b[2]-a[2]b[1]| > が得られるので のところで思考停止（’△’|||） でも時間はかかりましたが、 例えば、a[2]b[3]-a[3]b[2]の方ではb[3]a[3]をa[1],a[2],b[1],b[2]の式に置き換えして、 式を導くことができました。