• ベストアンサー
  • すぐに回答を！

ベクトルの問題

１．任意のベクトルrを、単位ベクトルeに平行な成分と垂直な成分とに分けよ。 ２．ベクトルbに関して、ベクトルaに線対称なベクトルを求めよ。 ３．ベクトルbとcで定められる平面に関して、ベクトルaに面対称なベクトルを求めよ。 抽象的なベクトルの問題でアプローチの仕方からわかりません。 どのように解くのか教えてください。

  1. カテゴリ
  2. 学問・教育
  3. 数学・算数

共感・応援の気持ちを伝えよう！

  • 回答数2
  • 閲覧数1351
  • ありがとう数1

質問者が選んだベストアンサー

  • ベストアンサー
  • 回答No.1
  • proto
  • ベストアンサー率47% (366/775)

図を描きながら読んでくださいね。 1．について 内積の幾何学的意味 　　r・e = |r||e|cos(θ) = |r|cos(θ) より、 r・eが、rをeに投影したときの影の長さだという事がわかりますか？ それってつまりは、r・eが今求めたいeに平行な成分の大きさということですね。 eに平行な成分は、大きさがr・eで方向がeですから、 　　(eに平行な成分) = (r・e)e となりますね。 eに垂直な成分は、ベクトルの引き算を思い出して 　　(eに垂直な成分) = r - (eに平行な成分) と書けます。これは図に描いて確かめてください。 2．について 基本的に1の応用で出来ます。 今、方向がbの単位ベクトルをeとしましょう。 つまりは 　　e = b/|b| です。 このとき1．を使って、aをeに平行な成分とeに垂直な成分に分けましょう。 ベクトルbに関してベクトルaに線対称なベクトルa'とは、eに平行な成分はaのそれと同じ、eに垂直な成分はaのそれと反対方向になりますね。 式で書けば 　　a' = (aのeに平行な成分) -(aのeに垂直な成分) ですね。 図を描いて確かめてくださいね。 あとは1．を踏まえてこれを具体的にa,bを用いて書けばokです。 3．について これも2．の応用です。 bとcで定められる平面に対して垂直な単位ベクトルeは外積を用いて、 　　e = (b×c)/|b×c| と書けますね。 ここで再びaをeに平行な成分とeに垂直な成分とに分けますね。 例によってaに面対称なベクトルa'は 　　a' = -(aのeに平行な成分) +(aのeに垂直な成分) ですね。 これも図に描いて確かめてください。 さっきよりも少し複雑になりますが、これをa,b,cを用いて具体的に書けばokです。

共感・感謝の気持ちを伝えよう！

質問者からの補足

わかりやすい解説ありがとうございます。 自分ではある程度数学ができると思っていましたが、まだまだですね。 今度はあなたが何者なのかを知りたくなってしまいました（笑） また質問させてもらう機会があると思いますので、その時はぜひご協力ください。

関連するQ&A

  • 平面とベクトル

    空間内の3点O(0,0,0),A(2,1,-2),B(-2,3,-2)を通る平面πと 点P(5c、c+1、c-1}を考える。 （１）点Pが平面π上にあるように、定数cの値を求めて下さい。 （２）平面πに垂直な大きさが１のベクトル(単位ベクトル）eの成分表示を求めて下さい。 （３）Pは平面πにないとします。 点Pを通り平面πに垂直な直線ｌと平面π都の交点Hの座標を、 eを用いて表してください。 （４）Pは平面πにないとします。 平面πに関して点Pと対称な点Qの座標を、eを用いて表してください。 難しい問題みたいです…。 解ける方がいらっしゃいましたら、 解説お願いしますm(__)m

  • ベクトル成分に単位はあるのか？

    ｘｙ座標で１目盛りを１ｋｍと考えたとき Ｖｋｍのベクトル成分が（a,b)とすると Ｖ= a*(xの単位ベクトル)+b*(yの単位ベクトル) と表せますが、 この場合ｋｍという単位は a,b　のほうに付くのでしょうか、それとも単位ベクトルのほうにつくのでしょうか？ 単位ベクトルのほうに付くのであればベクトル成分に単位はないと考えていいのでしょうか？ よろしくお願いします。

  • ベクトル

    ベクトルｄ＝（1,1-2）, e=(3,-2,1)のつくる平面に平行で、ベクトルf=(2,2,-1)に垂直な単位ベクトルを求めよ。 という問題です。 r=(x,y,z)とおいて、fとの垂直条件ｆ・ｒ=0がひとつと、 ｄ×r=0かつe×r=0で解こうとしたのが、 ｄ×r=0かつe×r=0をみたすものがx=0,y=0,z=0のみとなってしまいました。 そこで、（d×e）・ｒ＝０で解こうとしたのですが、当然ながら文字がひとつ消せませんでした。 大きさ１の条件を使うのでしょうか！？ 大きさ１の条件を使わないで、x,y,zを算出したいです。 よろしくお願いいたします。

もっと見る

その他の回答 (1)

  • 回答No.2

1.ベクトルrと単位ベクトルeの張る面内にeと垂直な単位ベクトルfをとると単位ベクトルfは一義的に決まる。この面内において単位ベクトルeに平行な成分ベクトルr1と垂直な成分ベクトルr2は 　　　　　r1=(r・e)e, r2=(r・f)f (r・e)はrとeの内積、(r・f)はrとfの内積である。 2.ベクトルbの単位ベクトルをe,これに垂直な単位ベクトルをfとし、1.と同様に考えると、ベクトルaに線対称なベクトルcは 　　　　　　c=a-2(a・f)f 3.ベクトルaを含み、ベクトルbとcで張る面の単位法線ベクトルをgとするとベクトルaに面対称なベクトルdは 　　　　　　d=a-2(a・g)g ベクトルbとcが与えられればベクトルbとcで張る面が決まり、単位法線ベクトルgは決定する。　　　

共感・感謝の気持ちを伝えよう！

質問者からの補足

わかりやすい解説ありがとうございます。 今年大学に進学したのですが、数学がさらに抽象的になってよく理解できなくなってしまいました。 また質問させてもらう機会があると思いますので、その時はぜひご協力ください。

関連するQ&A

  • ベクトル

    力学の最初の方でならうベクトルなんですがカテゴリーが違ってたらすみません。。 ベクトルA、Bはでデカルト座標系での成分がA:（２、－２、０）B:(1,1,-1)である。 AとBに直交する方向の単位ベクトルを求めよ という問題なんですが、全然分からなくてどのように考えればいいかだけでも教えて下さい。

  • ベクトルの問題です。

    表記上、”ベクトルa”を単に”a”のように表していきます。 平面上のベクトルa、b、c、dについて、|a|＝|b|＝|c|＝|d|＝1とします。 また、a・b＝a・b＝a・d＝b・c＝b・d＝c・dとします。 このとき、a、b、c、dはどの2つのベクトルを考えてもそれぞれなす角が等しいということになるので、a、b、c、dは『同じベクトル』か、もしくは『なす角90°のベクトル』の2種類の単位ベクトルのいずれか、と考えたのですが、この考えは合っていますか？ 勿論、例えばaを基準に考えたら、aから見て反時計回り側にb、時計回り側にcというようなことも、起きないものとなりますが。 回答、よろしくお願いします。

  • 単位ベクトルi,j,k　と　ベクトル成分　について

    例えば、変位ベクトルＡの単位が（ｋｍ）のとき 単位ベクトルijkを使い Ａ＝(Ａx)i + (Ａy)j + (Ａz)k 　　 (Ａx,Ａy,Ａz はベクトル成分） と表されたとき、 ｋｍという単位は　 ベクトル成分Ａx,Ａy,Ａzに付くのでしょうか、 それとも単位ベクトルi,j,k　につくのでしょうか？　 そもそもベクトル成分に単位はあるのでしょうか？

  • ベクトル

    こんばんは。 よろしくお願いいたします。 pベクトル=(2,1)のとき、pベクトルと同じ向きの単位ベクトルの成分表示を求めよ。 という問題で |pベクトル|=√(2^2+1^2)=√5 pベクトル/|pベクトル|=（1/√5）pベクトル=(2/√5,1/√5) と教科書に書いてありました。 何度もよんでも意味がわからず、困ってしまいました。。 これの前までは頑張って理解できました。 数学が苦手ですが、頑張りますのでこの問題を教えてください。 よろしくお願いいたします。

  • ベクトルについて

    問題　(a,b)≠(0,0)とする (１)ｘｙ平面上の任意の直線の式はax＋ｂｙ＋ｃ＝０の形で表せることを示せ (２)逆に、ｘｙ平面で、ax＋ｂｙ＋ｃ＝０を満たす点(ｘ、ｙ)の集合は直線を表すことを示せ (３)直線Ｌ：ax＋ｂｙ＋ｃ＝０とベクトル(a,b)(←ベクトルの成分表示がうまくいきません。申し訳ないです。上がaで、下がbって事です) (１)は分かりますが、その逆の(２)、(３)が分かりません。教えて下さい。

  • ベクトルの問題で困ってます。

    ベクトルの問題で困ってます。 入試の過去門を解いているのですが答えがないため自分の出した回答があってるのか、またどうやったら解けるのか教えていただけないでしょうか？ 書式の都合上ベクトル量を大文字、スカラー量を小文字で表記させていただきます。 平面上のベクトルA,Bについて|A|=3,|B|=4,A・B=9とする。 (1)Aと同じ向きの単位ベクトルPを求めなさい。 (2)Aと垂直で,Bとの内積が正となる単位ベクトルQをQ=kA+lBと表すとき,このkとlを求めなさい。 (3)単位ベクトルRとBのなす角をAが2等分するとして,R=mA+nBと表すとき,このmとnを求めなさい。 という3つの問題なのですが(1)はP=A/3でよいと思うのですが後の2問がどうやって考えても答えにたどり着けません。 (2)垂直条件からA・Q=0で、Bとの内積が正ですからB・Q＜90°でよいですよね？ (3)はAのままだとなす角が鈍角なので-Aを使うことはわかるのですが…

  • ベクトルと三角関数　２倍角

    問１： Oを原点とする空間内に単位ベクトルｎ→、ｖ→があります。点A（a→）を通りn→に垂直な平面をαとします。平面α上に無い点（b→）を通り、ｖ→に平行な直線をLとします。次の問いに答えなさい。 ※英小文字の横にある→は全て文字の上にあるものとします。 （１）平面αに関して、点Bと対称な点Cの位置ベクトルC→を求めなさい。 （２）平面αに関して、直線Lと対称な直線をmとおきます。mの方向ベクトルを１つ求めなさい。 問２： 以下の手順に従ってsin18°の値を求めなさい。 （１） 　　sin72°分のcos18°＝１および２倍角の公式を用いて、sin18°cos36°の値を求めなさい。 （２）（１）の結果を利用してt=sin18°の満たす３次方程式を導出し、これを解いてsin18°の値を求めなさい。

  • ベクトルの質問です

    平面の方程式　ax+by+cz+d=0　のabcはその平面の法線ベクの成分。xyzはその平面上のベクトルの成分ですか？ 平面を求める問題などでは、平面上のベクトルはあまり出てきませんが・・・

  • ベクトルですが・・・・・。

    今、授業でベクトルを習っているんですが 全くわかりません・・・・。 １問も分からない！と言ってイイほど 解けません。 ベクトルの平面のほうなんですけど（空間ではなく。） 解くに当たって何かコツとかありますか？ 最近やっとベクトル成分が分かってきたばっかで・・・。 回答よろしくお願いします！！

  • 極座標変換したベクトルにさらに直行なベクトル

    x,y,z軸に対して極座標変換したベクトルrがあります。 r = (sinθcosφ,sinθsinφ,cosθ)です。 このr軸上にそれぞれ直行なベクトルα,βがあります。その関係は r = β × α　です。 このα,βのベクトル成分をベクトルrや単位ベクトルx,y,zなどから求めたいのですが、どのように求めてよいかわかりません。 x = (1,0,0), y= (0,1,0), z = (0,0,1)です。 ご存知の方詳しい方がいらっしゃったら教えて下さい。 よろしくお願いします。

カテゴリ

専門家に質問してみよう

職業から探して質問する