ベクトルの問題

質問

１．任意のベクトルrを、単位ベクトルeに平行な成分と垂直な成分とに分けよ。
２．ベクトルbに関して、ベクトルaに線対称なベクトルを求めよ。
３．ベクトルbとcで定められる平面に関して、ベクトルaに面対称なベクトルを求めよ。

抽象的なベクトルの問題でアプローチの仕方からわかりません。
どのように解くのか教えてください。

回答No.1

proto · ベストアンサー

図を描きながら読んでくださいね。

1．について
内積の幾何学的意味
　　r・e = |r||e|cos(θ) = |r|cos(θ)
より、
r・eが、rをeに投影したときの影の長さだという事がわかりますか？
それってつまりは、r・eが今求めたいeに平行な成分の大きさということですね。
eに平行な成分は、大きさがr・eで方向がeですから、
　　(eに平行な成分) = (r・e)e
となりますね。
eに垂直な成分は、ベクトルの引き算を思い出して
　　(eに垂直な成分) = r - (eに平行な成分)
と書けます。これは図に描いて確かめてください。

2．について
基本的に1の応用で出来ます。
今、方向がbの単位ベクトルをeとしましょう。
つまりは
　　e = b/|b|
です。
このとき1．を使って、aをeに平行な成分とeに垂直な成分に分けましょう。
ベクトルbに関してベクトルaに線対称なベクトルa'とは、eに平行な成分はaのそれと同じ、eに垂直な成分はaのそれと反対方向になりますね。
式で書けば
　　a' = (aのeに平行な成分) -(aのeに垂直な成分)
ですね。
図を描いて確かめてくださいね。
あとは1．を踏まえてこれを具体的にa,bを用いて書けばokです。

3．について
これも2．の応用です。
bとcで定められる平面に対して垂直な単位ベクトルeは外積を用いて、
　　e = (b×c)/|b×c|
と書けますね。
ここで再びaをeに平行な成分とeに垂直な成分とに分けますね。
例によってaに面対称なベクトルa'は
　　a' = -(aのeに平行な成分) +(aのeに垂直な成分)
ですね。
これも図に描いて確かめてください。
さっきよりも少し複雑になりますが、これをa,b,cを用いて具体的に書けばokです。

補足

わかりやすい解説ありがとうございます。
自分ではある程度数学ができると思っていましたが、まだまだですね。
今度はあなたが何者なのかを知りたくなってしまいました（笑）
また質問させてもらう機会があると思いますので、その時はぜひご協力ください。

回答No.2

spring135

1.ベクトルrと単位ベクトルeの張る面内にeと垂直な単位ベクトルfをとると単位ベクトルfは一義的に決まる。この面内において単位ベクトルeに平行な成分ベクトルr1と垂直な成分ベクトルr2は
　　　　　r1=(r・e)e, r2=(r・f)f
(r・e)はrとeの内積、(r・f)はrとfの内積である。
2.ベクトルbの単位ベクトルをe,これに垂直な単位ベクトルをfとし、1.と同様に考えると、ベクトルaに線対称なベクトルcは
　　　　　　c=a-2(a・f)f
3.ベクトルaを含み、ベクトルbとcで張る面の単位法線ベクトルをgとするとベクトルaに面対称なベクトルdは
　　　　　　d=a-2(a・g)g
ベクトルbとcが与えられればベクトルbとcで張る面が決まり、単位法線ベクトルgは決定する。

補足

わかりやすい解説ありがとうございます。
今年大学に進学したのですが、数学がさらに抽象的になってよく理解できなくなってしまいました。
また質問させてもらう機会があると思いますので、その時はぜひご協力ください。