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ベクトルの問題がわかりません。

見ていただきありがとうございます。 問題はこちらです、 3点A(1,0,0) B(4,1,1) C(2,1,3)を含む平面に垂直な単位ベクトルは          (○○) ±1/√○○ (○○)である。         ( 1 ) /は分数の線を表わし、√の後の数字は中に入ってるとし、()は分かれているのではなくて行列として表します。 という問題なんですが、解き方がわかりません。 答えは持ってます。 解き方がわかる方がいましたら教えてください。

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noname#86294
noname#86294
回答No.2

A(1,0,0) B(4,1,1) C(2,1,3) 点Aを起点とするベクトルAB、ACは、 AB(4-1,1-0,1-0)=AB(3,1,1)、AC(2-1,1-0,3-0)=AC(1,1,3) このベクトルのなす平面に直交する法線ベクトルは、これらの外積 で表わされるので、 AB×AC= 「i  j  k   =i・2+j・(-8)+k・2         3  1  1        1  1  3」 (ただし、i、j、kは、x、y、z方向の単位ベクトル)    ---------------------------------------------------------   |ここに示したのは、原点を中心にABからACの方に回転する場合に |   |右手系を採用した場合に向く方向を正としましたが、向きには拘わる|   |必要がないようなので、最後に‘±’をつけることにします。     --------------------------------------------------------- つまり、(2)      (-8)      (2) なので、このベクトルの大きさ、√{2^2+(-8)^2+2^2}=√72=6√2 で割って {1/(3√2)} {-4/(3√2)} {1/(3√2)} z方向の成分を 1 とした場合の答えが求められているので、全体を (3√2)倍、 つまり、(要求されている形の答えとなるように) √18倍すると、 (1) (-4) (1) 従って、答えは、         (+1) ±1/√18 (-4)   となります。        (+1)

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  • Mr_Holland
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回答No.1

 3点A(1,0,0) B(4,1,1) C(2,1,3)を含む平面に垂直な単位ベクトル をベクトルn=(x、y、z)とします。  このとき、次の条件が成り立つように、x、y、zの値を決めます。   →AB・→n=0 かつ →AC・→n=0 かつ |→n|=1  具体的な計算は次の通りです。   →AB・→n=3x+y+z=0 ・・・(1)   →AC・→n=x+y+3z=0 ・・・(2)   |→n|=√(x^2+y^2+z^2)=1 ・・・(3)  式(1)-式(2)から   2x-2z=0 ∴z=x  これを式(1)に代入して   ∴ y=-4x となりますので、xを使ってベクトルnや次のように表されます。   →n=x(1,-4,1)  このベクトルの大きさを求めますと、式(3)から   |→n|=√18 |x|=1  ∴x=±1/√18 ( =±1/(3√2) ) となりますので、改めてベクトルnを表しますと、次のようになります。   →n=±1/√18 (+1,-4,1)

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