ベクトル解析の面積ベクトルを学習しているのですが

質問

ベクトル解析の面積ベクトルの正射影の面積について
XYZ空間内に平面πを定めてこのπ上に平曲線cで囲まれる図形をDとおきその面積をsとおく。

 このとき、平面πに垂直で大きさ1の正の向きのベクトルを単位法線ベクトルと呼び、これをnと表すことにする。すると面積ベクトルS=snとなる。このときn=[cosα,cosβ,cosγ](0≦α≦π,0≦β≦π,0≦γ≦π)さらに、基本ベクトルi=[1,0,0],j=[0,1,0],k=[0,0,1]とするとDのxy平面への正射影の面積は|i・S|=s|cosα|となる。 (jS,kSは省略) ここで、平面πの定め方について疑問があります。まずxy平面と平行な平面πを考えます。
このとき単位法線ベクトルnはz軸と平行です。
そしてここからが問題ですが、平面πを生成するベクトルを考えます。このベクトルの中のひとつをaベクトルとしてaベクトルとx軸との角度はαとします。そして、aベクトルを回転軸に平面πを回転させます。こうすると、この平面πはαβγだけで表すことができるのでしょうか？
また、正射影を考えたときにその面積は、|i・S|=s|cosα|にはならないと思うのですが勘違いしているかもしれないので、どなたか詳しく教えて頂けないでしょうか？

回答No.3

stomachman

ANo.1へのコメントについてです。

　回答のどこがどう分からん、という話をコメントなさるのなら良いのですが、コメントにお書きの内容はまるでトンチンカン。ご質問への回答はANo.1（「蛇足」より前の部分）に示してあるんですが、お読みになったとは思えないな。

回答No.2

中村 拓男（@tknakamuri）

＞平面πを生成するベクトル

これなに？

回答No.1

stomachman

> 平面πはαβγだけで表すことができるのでしょうか？

　ある平面πと平行なあらゆる平面π'もπと同じ法線ベクトルを持っているから、α,β,γだけではπとπ'を区別できない。当たり前。

> 基本ベクトルi=[1,0,0],j=[0,1,0],k=[0,0,1]とするとDのxy平面への正射影の面積は|i・S|=s|cosα|となる。

　xy平面への正射影とは、図形Dの各点rを、rのz座標を0にした点r'に対応付けて出来た像D'。xy平面の法線ベクトルと平面πの法線ベクトルnとの内積をpとすると、D'の面積はDの面積のp倍になる。（負の面積は、ウラガエシということを表す。）慣例に従って点の座標を(x,y,z)と書くなら、
　　p = [0,0,1]・n
であって、お書きの式のようにはならない。どうも、点の座標を(x,y,z)じゃなく(z,y,x)とか表していらっしゃるのかな？

　以下、蛇足ながら意味の分からん所について。

> 平面πを生成するベクトルを考えます。このベクトルの中のひとつを

　「平面を生成するベクトル」って一体どういう意味なのか、定義してもらわんと何とも言えない。（たとえば、0でないベクトルpを決めれば「点pを通り、ベクトルpと垂直な平面」という風に平面を指定することができるし、ベクトルpと0でないベクトルnを決めて「点pを通りベクトルnに垂直な平面」と指定しても良い。あるいはひとつのベクトルpと、互いに独立な0でないベクトルq, rとを決めて「p+sq+tr (s,tは実数）」によって平面を指定することもできる。）

> aベクトルを回転軸に平面πを回転させます。

　aは空間中のひとつの点を指定するだけなのだから、軸にはできっこない。aの他にもう一つの点（たとえば原点(0,0,0)とか）を指定すれば、ようやく軸が決まります。

補足

回答ありがとうございます。たくさん不備があって申し訳ありません。自分の頭の中では想像できているのですが他人に伝えるとなると難しいものですね、まだまだ未熟者ですみません。

平面πを生成するベクトルというのは、平面π上にあるnベクトルの始点を通るベクトルと考えて下さい。このベクトルをaベクトルと呼ぶことにします。そしてこのaベクトルはこの平面π上でnベクトルの始点を通っていてさらに、x軸、y
軸と平行でなければどんなベクトルでもかまいません。x軸、y軸と平行ではいけないというのは結局、平面πをxyz軸に対して「ねじる」という動作をしたい訳です。ねじるといってもねじった後も平面のままです。
つまりaベクトルを回転軸として平面πを回転させます。
そして、この状態で平面πの正射影を考えた時に|i・S|=s|cosα|にはならないと思うのです。そしてこのような平面πの正射影の面積はどのように求められるのか疑問に思うのです。
こんなところでどうでしょうか？
まだ不十分なところがあればお申し付け下さい。