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ベクトル解析の面積ベクトルを学習しているのですが
ベクトル解析の面積ベクトルの正射影の面積について XYZ空間内に平面πを定めてこのπ上に平曲線cで囲まれる図形をDとおきその面積をsとおく。 このとき、平面πに垂直で大きさ1の正の向きのベクトルを単位法線ベクトルと呼び、これをnと表すことにする。すると面積ベクトルS=snとなる。このときn=[cosα,cosβ,cosγ](0≦α≦π,0≦β≦π,0≦γ≦π)さらに、基本ベクトルi=[1,0,0],j=[0,1,0],k=[0,0,1]とするとDのxy平面への正射影の面積は|i・S|=s|cosα|となる。 (jS,kSは省略) ここで、平面πの定め方について疑問があります。まずxy平面と平行な平面πを考えます。 このとき単位法線ベクトルnはz軸と平行です。 そしてここからが問題ですが、平面πを生成するベクトルを考えます。このベクトルの中のひとつをaベクトルとしてaベクトルとx軸との角度はαとします。そして、aベクトルを回転軸に平面πを回転させます。こうすると、この平面πはαβγだけで表すことができるのでしょうか? また、正射影を考えたときにその面積は、|i・S|=s|cosα|にはならないと思うのですが勘違いしているかもしれないので、どなたか詳しく教えて頂けないでしょうか?
- gagagaky
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- stomachman
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ANo.1へのコメントについてです。 回答のどこがどう分からん、という話をコメントなさるのなら良いのですが、コメントにお書きの内容はまるでトンチンカン。ご質問への回答はANo.1(「蛇足」より前の部分)に示してあるんですが、お読みになったとは思えないな。
- 中村 拓男(@tknakamuri)
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>平面πを生成するベクトル これなに?
- stomachman
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> 平面πはαβγだけで表すことができるのでしょうか? ある平面πと平行なあらゆる平面π'もπと同じ法線ベクトルを持っているから、α,β,γだけではπとπ'を区別できない。当たり前。 > 基本ベクトルi=[1,0,0],j=[0,1,0],k=[0,0,1]とするとDのxy平面への正射影の面積は|i・S|=s|cosα|となる。 xy平面への正射影とは、図形Dの各点rを、rのz座標を0にした点r'に対応付けて出来た像D'。xy平面の法線ベクトルと平面πの法線ベクトルnとの内積をpとすると、D'の面積はDの面積のp倍になる。(負の面積は、ウラガエシということを表す。)慣例に従って点の座標を(x,y,z)と書くなら、 p = [0,0,1]・n であって、お書きの式のようにはならない。どうも、点の座標を(x,y,z)じゃなく(z,y,x)とか表していらっしゃるのかな? 以下、蛇足ながら意味の分からん所について。 > 平面πを生成するベクトルを考えます。このベクトルの中のひとつを 「平面を生成するベクトル」って一体どういう意味なのか、定義してもらわんと何とも言えない。(たとえば、0でないベクトルpを決めれば「点pを通り、ベクトルpと垂直な平面」という風に平面を指定することができるし、ベクトルpと0でないベクトルnを決めて「点pを通りベクトルnに垂直な平面」と指定しても良い。あるいはひとつのベクトルpと、互いに独立な0でないベクトルq, rとを決めて「p+sq+tr (s,tは実数)」によって平面を指定することもできる。) > aベクトルを回転軸に平面πを回転させます。 aは空間中のひとつの点を指定するだけなのだから、軸にはできっこない。aの他にもう一つの点(たとえば原点(0,0,0)とか)を指定すれば、ようやく軸が決まります。
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