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ベクトルの外積
すいません。問題の解答の読解で悩んでいます。 ３次元ベクトルa,bの外積a×bを次のように定義します。 a,bのなす平面に垂直で、a,b,a×bの順に右手系をなし、長さはa,bを２辺とする平行四辺形の面積に等しい。ただしa,bが同じ方向なら0とする。このとき３本のベクトルに対し(a×b)×c=(a,c)b-(b,c)aが成立することを証明しなさい。(a,c)は内積を表します。 退化する場合は直接に示される。←「退化」ってどういうことでしょう。 (a×b)×cはa,bに垂直なa×bと垂直なのでa,bの定める平面上にあり、λa+μbと表される。cをa×bに平行な成分uと垂直な成分vに分けると、前者のときは、所要の式は0=0で成立する。後者のときは、(a×b)×vはvをa×bの上からみて正の向きに９０°回転した方向であって α[(a,v)b-(b,v)a](αは正の定数)と表される。 ↑ 前者、後者って何を指しているのでしょう。 なんだか国語の問題になっちゃってますが、困っています。
- msndance
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> (a×b)×c=(a,c)b-(b,c)aが成立することを証明しなさい。 ベクトル３重積の展開計算です．以前に同じような質問に回答したことがありますので、下記の参考ＵＲＬを見てください． 成分計算によっても証明できますが，この証明のように外積の幾何学的な性質を利用する方法もあります．ベクトル３重積の公式は使わないとすぐ忘れてしまうので，この照明方法を知っておくと便利です．
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- hogehogeninja
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この場合は「退化」はaとbが平行なときでしょう。 前者の時は0=0で成立する、という文からみて、 「前者」は退化しているとき、 「後者」はそうでない一般的なとき、です。
お礼
みなさんどうもありがとうございます。 忙しくてなかなかPCを見る機会がありませんでした。 もうちょっと考えてみます。
補足
う～ん、a,b,cが一次独立でないとして、 たとえばc=la+mbとおいてみて右辺に代入してみるんですが、右辺がゼロであることがうまく導出できないですね。 ベクトルが３つありますから、no2さんの意見をとって３つのベクトルが一次独立でない場合に、必ずしもaとbが平行になるとは思えないんですよね。 ＞前者のときは0=0で成立 というのがまだひっかかっていますね。
- Tacosan
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「退化」というのは, 3本の 3次元ベクトル a, b, c のうち 2本 (以上) が一次独立じゃない場合. この場合, 3ベクトル a, b, c を使っても全空間を張ることができません. 一般に, 全てのベクトルが一次独立でない場合に「退化」とか「縮退」と呼びます. で, うしろの「前者」, 「後者」はそれぞれ u, v のことでしょう.
補足
あれ、u,v・・・とは思えないですね。 前者の「場合」とか書いてますから・・・。 なんか文法的に変な感じがします。
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