複素平面上の軌跡

質問

複素数ｚについて、z/(z-1)が純虚数であるようにｚが変化するとき、ｚがえがく図形を求めて、複素平面上に図示せよ。
という問題の解答は、「点1/2を中心とする半径1/2の円。ただし、２点0,1を除く」です。
どのように考えていけば、この解答にたどりつくのでしょう？z=x+yiとおいて考えていったのですが、わからなくなってしまいました。よろしくお願いします。

回答No.1

graduate_student · ベストアンサー

例えば,複素数Z（=a+bi）について考えてください.(iは虚数単位です.)
この複素数Zが純虚数となるのはどういうときでしょうか？
それは
Z+Z(バー)=0（Z(バー)←（Zの共役複素数）
のときですね.
なぜなら,Z(バー)=a-biであり,
Z+Z(バー)=2a…(*)
です.
(*)が０になる,つまりa=0ならば,z=biとなるので,zは純虚数となります.

これをz/(z-1)に利用してください.

補足

z/(z-1)が純虚数であるための必要十分条件は
conj{z/(z-1)}=-{z/(z-1)}・・・(1)
z/(z-1)≠0　　　　　　　・・・(2)です。
(2)から、z≠0,1がいえます。
(1)を変形していったら
2z^2=0
になってしまって・・・・。
どこで計算違いをしてしまったのかわからないんです。（涙）

回答No.4

graduate_student

(z/z-1)=-conj{z/(z-1)}
⇔z(~z-1)=-~z(z-1) (~z:z[バー]とします)
⇔2z~z-z-~z=0
⇔(z-1/2)(~z-1/2)=1/4
⇔|z-1/2|^2=1/4

ですよ.
たぶん,naganottiさんが勘違いしていらっしゃるのは,zを複素数としたとき,(z-1)の共役複素数は(~z+1)ではなく,(~z-1)ですよ.
だって,z=a+biとおいてみてください.
そのとき,z-1=(a-1)+biで,その共役は(a-1)-biです.
つまり,(~z-1)となります.
(~z+1)ではありません.

お礼

あ、本当だ。もう一度やってみたらその通りでした。
何度もありがとうございました。

回答No.3

BBblue

z=x+yiとおいて考えていってもちゃんと求まるはずですよ。
z/(z-1) の　実部(x,y の式)＝0 とすれば
点1/2を中心とする半径1/2の円　の式が出てきます(x,yの式として)。
除外点は
　1.実部＝0 でも虚数にならない点
　2.そもそも z/(z-1) が計算できない点
に対応する点です。
がんばって！

回答No.2

tenro

偏角をとれば、ほぼ明らかです。
　arg(z/w)=arg(z)-arg(w)
　arg(純虚数）=±π/2
をつかえば、すぐ答えにたどり着きます。

お礼

アドバイス、ありがとうございます。ちょっとやってみますね。