複素平面

質問

(1) 複素平面上で　|z|^2+2iz-2i(z￣)+4=Rを満たす点zはどの様な図形を描くか。
(2)0でない相違なる3つの複素数α, β,γは
α^2=βγ,β^2=γα, β/αの虚部が正　*
を満たすとする。
(i) β/αの値を求めよ。
(ii)複素平面上でα, β,γが表す点をそれぞれA,B,Cとする。三角形ABCは正三角形であることを示せ。
(3)|α|=1かつ(*)を満たす任意のα, β,γに対して、三角形ABCの周と(1)の図形が共有点を持つ様なRの最小値を求めよ。

(1)与式を|z-2i|^2=Rと変形し、点2iを中心とする半径√Rの円
(2)以降の解き方を教えてください。

回答No.1

gamma1854 · ベストアンサー

2) 「２式」よりγを消去することを考えてください。
β/α = t とおくと、Im(t) > 0 より、 t = (-1+i*√3)/2 = e^(2pi*i/3).
また、γ=α*e^(-2pi*i/3). もわかり、|α|=|β|=|γ| ゆえ、三角形ABCは正三角形。
3) ２円 x^2+(y-2)^2=R, x^2+y^2=1. が共有点をもつためには、1≦√R.
● 図をかき、考えてください。

お礼

無事に解くことができました。
β/α = a+biと処理するのではなく、tと置けば良かったのですね。